Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule seu valor.
sumn=1^infty pi3^n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, a gente também vai calcular o valor dela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como calcular sua soma.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de série temos aqui. A série dada é . Observa que temos uma constante dividida por . Isso se parece muito com uma série geométrica, que tem a forma geral , onde é a primeira parcela e é a razão.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a série para ficar mais parecida com a forma padrão da série geométrica. Podemos fatorar a constante sumn=1^infty pi3^n+1 = pi sumn=1^infty 13^n+1 :
Perceba que .

Passo 4

Vamos ajustar o índice da soma para começar do pi sumn=1^infty ( 13 )^n+1 = pi summ=2^infty ( 13 )^m . Para isso, fazemos uma substituição: deixe pi ( summ=0^infty ( 13 )^m - ( 13 )^0 - ( 13 )^1 ) = pi ( 11 - 13 - 1 - 13 ) . Quando , , e assim por diante. Então:
Mas para facilitar, podemos ajustar a soma para começar de subtraindo os primeiros termos que não queremos:

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita, que é válida quando sumn=0^infty ar^n = a1 - r :
summ=0^infty ( 13 )^m = 11 - 13 = 123 = 32
No nosso caso, e , então:

Passo 6

Agora, voltando à nossa expressão ajustada:
pi ( 32 - 1 - 13 ) = pi ( 32 - 33 - 13 ) = pi ( 32 - 43 )
Para subtrair as frações, vamos achar um denominador comum, que é 6:
pi ( 96 - 86 ) = pi ( 16 ) = pi6

Resposta

A série é convergente e seu valor é .

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