Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série
é convergente ou divergente. Se ela for convergente, a gente também vai calcular o valor dela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como calcular sua soma.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de série temos aqui. A série dada é
. Observa que temos uma constante
dividida por
. Isso se parece muito com uma série geométrica, que tem a forma geral
, onde
é a primeira parcela e
é a razão.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a série para ficar mais parecida com a forma padrão da série geométrica. Podemos fatorar a constante
:
Perceba que
.
Passo 4
Vamos ajustar o índice da soma para começar do
. Para isso, fazemos uma substituição: deixe
. Quando
,
, e assim por diante. Então:
Mas para facilitar, podemos ajustar a soma para começar de
subtraindo os primeiros termos que não queremos:
Passo 5
Vamos aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita, que é válida quando
:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 6
Agora, voltando à nossa expressão ajustada:
Para subtrair as frações, vamos achar um denominador comum, que é 6:
Resposta
A série é convergente e seu valor é
.