Determine as soluções gerais das equações: (2xy + e^y) dx + (x^2 + x e^y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: (2xy + e^y) dx + (x^2 + x e^y) dy = 0. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que a resolve.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as funções que multiplicam e . Vamos chamar:
A equação fica então .

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais:
Calculando:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma função potencial F(x, y) tal que:
Vamos integrar M em relação a x:
Aqui, g(y) é uma função que depende só de y.

Passo 5

Agora, diferenciamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N:
Isso nos dá:
Integrando, temos , onde C é uma constante.

Passo 6

Portanto, a função potencial é:
A solução geral da equação diferencial é , ou seja:

Resposta

A solução geral da equação é , onde C é uma constante.

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