Determine as soluções gerais das equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que a resolve.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos as funções que multiplicam
e
. Vamos chamar:
A equação fica então
.
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais:
Calculando:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Passo 5
Agora, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Integrando, temos
, onde
é uma constante.
Passo 6
Portanto, a função potencial é:
A solução geral da equação diferencial é
, ou seja:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.