Determine se a série convergente ou divergente.
j)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Estamos lidando com séries infinitas aqui, e para resolver isso, vamos usar o Teste da Comparação. Precisamos entender o comportamento da função seno e comparar a nossa série com uma série que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto do seno está sempre entre 0 e 1, ou seja:
Isso significa que:
Simplificando , temos , então:

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série geométrica . Sabemos que uma série geométrica converge se . No nosso caso, , que é menor que 1. Portanto, a série geométrica converge.

Passo 4

Como e a série converge, pelo Teste da Comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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