Determine se a série convergente ou divergente.
e)
e)
Passo 1
Vamos lá! Temos que descobrir se a série
converge ou não. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries geométricas e verificar a condição de convergência delas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
Assim, temos duas séries distintas para verificar.
Passo 3
Vamos analisar a primeira série:
.
Essa é uma série geométrica, onde cada termo é multiplicado por uma razão constante para chegar ao próximo termo. A fórmula geral de uma série geométrica é
, onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Passo 4
No caso da nossa primeira série, temos:
- Primeiro termo (
) = - Razão (
) =
Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, se
.
Passo 5
Como aqui
, que é menor que 1, a primeira série converge. Na verdade, podemos até encontrar sua soma:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda série:
.
Podemos reescrever essa série como:
Novamente, é uma série geométrica, onde a razão agora é
.
Passo 7
Verificamos se essa série converge observando a razão
. Como
, a série geométrica diverge. Isso significa que os termos não tendem a zero e a soma cresce sem limite.
Resposta
Como uma das partes da série original diverge, a série total também diverge. Portanto,
é divergente.