Determine se a série convergente ou divergente.
e) sumn=1^infty 5+3^n2^n

Passo 1

Vamos lá! Temos que descobrir se a série sumn=1^infty 5+3^n2^n converge ou não. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries geométricas e verificar a condição de convergência delas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
sumn=1^infty 5+3^n2^n = sumn=1^infty 52^n + sumn=1^infty 3^n2^n
Assim, temos duas séries distintas para verificar.

Passo 3

Vamos analisar a primeira série: sumn=1^infty 52^n.
Essa é uma série geométrica, onde cada termo é multiplicado por uma razão constante para chegar ao próximo termo. A fórmula geral de uma série geométrica é sumn=0^infty ar^n, onde a é o primeiro termo e r é a razão.

Passo 4

No caso da nossa primeira série, temos:
  • Primeiro termo ( a) = 52
  • Razão ( r) = 12
Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, se |r| < 1.

Passo 5

Como aqui r = 12, que é menor que 1, a primeira série converge. Na verdade, podemos até encontrar sua soma:
sumn=1^infty 52^n = 52 cdot 11 - 12 = 5

Passo 6

Agora, vamos para a segunda série: sumn=1^infty 3^n2^n.
Podemos reescrever essa série como:
sumn=1^infty (32)^n
Novamente, é uma série geométrica, onde a razão agora é r = 32.

Passo 7

Verificamos se essa série converge observando a razão r = 32. Como |32| = 1,5 > 1, a série geométrica diverge. Isso significa que os termos não tendem a zero e a soma cresce sem limite.

Resposta

Como uma das partes da série original diverge, a série total também diverge. Portanto, sumn=1^infty 5+3^n2^n é divergente.

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