Determine se a série convergente ou divergente.
m)
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa descobrir se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar testes de convergência de séries, que nos ajudam a entender o comportamento das somas infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar a análise. Observamos que
sempre está entre 0 e 1, então
varia entre 2 e 3. Isso significa que o numerador da nossa fração é limitado. Agora, vamos olhar para o denominador:
. Conforme
cresce,
também cresce, então
tende a crescer.
Passo 3
Para analisar a convergência dessa série, vamos comparar com uma série mais simples que conhecemos. Observamos que, para
grande,
é aproximadamente
. Então, nossa série se comporta de forma similar a
, onde
é uma constante positiva.
Sabemos que a série
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é menor que 1. Portanto, a série comparada diverge.
Passo 4
Como a série
é comparável a uma série divergente, podemos concluir, pelo Teste de Comparação, que a nossa série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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d)
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g)
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