Determine se a série convergente ou divergente.
m)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa descobrir se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar testes de convergência de séries, que nos ajudam a entender o comportamento das somas infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar a análise. Observamos que sempre está entre 0 e 1, então varia entre 2 e 3. Isso significa que o numerador da nossa fração é limitado. Agora, vamos olhar para o denominador: . Conforme cresce, também cresce, então tende a crescer.

Passo 3

Para analisar a convergência dessa série, vamos comparar com uma série mais simples que conhecemos. Observamos que, para grande, é aproximadamente . Então, nossa série se comporta de forma similar a , onde é uma constante positiva.
Sabemos que a série converge se e diverge se . No nosso caso, , que é menor que 1. Portanto, a série comparada diverge.

Passo 4

Como a série é comparável a uma série divergente, podemos concluir, pelo Teste de Comparação, que a nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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