Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}/{2 n^{3}+1}

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Esse exercício está no campo do Cálculo, mais especificamente no estudo de séries infinitas. Para resolver, vamos precisar entender sobre testes de convergência de séries, como o teste da comparação ou o teste da série p.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão geral da série: . Quando fica muito grande, os termos de menor ordem (+1, por exemplo) têm pouca influência. Então, podemos simplificar a expressão para entender melhor o comportamento da série. Simplificando, temos aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos comparar essa série com a série , que é uma série p com . Sabemos que uma série p converge quando . Portanto, é convergente.

Passo 4

Utilizaremos o Teste da Comparação. Esse teste diz que se para todo a partir de um certo ponto, e converge, então também converge. No nosso caso, e .

Passo 5

Vamos verificar a comparação: . Como e converge, pelo Teste da Comparação, nossa série também converge.

Resposta

A série é convergente.

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