Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}/{2 n^{3}+1}
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Esse exercício está no campo do Cálculo, mais especificamente no estudo de séries infinitas. Para resolver, vamos precisar entender sobre testes de convergência de séries, como o teste da comparação ou o teste da série p.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão geral da série:
. Quando
fica muito grande, os termos de menor ordem (+1, por exemplo) têm pouca influência. Então, podemos simplificar a expressão para entender melhor o comportamento da série. Simplificando, temos aproximadamente
.
Passo 3
Agora, vamos comparar essa série com a série
, que é uma série p com
. Sabemos que uma série p converge quando
. Portanto,
é convergente.
Passo 4
Utilizaremos o Teste da Comparação. Esse teste diz que se
para todo
a partir de um certo ponto, e
converge, então
também converge. No nosso caso,
e
.
Passo 5
Vamos verificar a comparação:
. Como
e
converge, pelo Teste da Comparação, nossa série
também converge.
Resposta
A série
é convergente.