Encontre a série de MacLaurin de usando a definição: $f(x)=\cos x

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede para a gente encontrar a série de MacLaurin da função usando a definição. A série de MacLaurin é um tipo específico de série de Taylor que expande uma função em torno de . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas da função e aplicar a definição da série de MacLaurin.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a série de MacLaurin. A série de MacLaurin é uma expansão em série de potências de uma função ao redor de . A fórmula geral da série de MacLaurin é:
Ou seja, para encontrar a série de MacLaurin, precisamos calcular as derivadas da função avaliadas em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em .
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Terceira derivada:
  1. Quarta derivada:
Perceba que as derivadas de se repetem a cada quatro derivações. Então, a sequência das derivadas avaliadas em 0 é:

Passo 4

Agora vamos montar a série de MacLaurin usando os valores das derivadas que encontramos.
Substituindo os valores:
Notamos que os termos com derivadas ímpares são zero, então a série se simplifica para os termos pares:

Resposta

A série de MacLaurin de é:

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