Encontre a série de MacLaurin de
usando a definição: $f(x)=\cos x
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede para a gente encontrar a série de MacLaurin da função
usando a definição. A série de MacLaurin é um tipo específico de série de Taylor que expande uma função em torno de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas da função e aplicar a definição da série de MacLaurin.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a série de MacLaurin. A série de MacLaurin é uma expansão em série de potências de uma função
ao redor de
. A fórmula geral da série de MacLaurin é:
Ou seja, para encontrar a série de MacLaurin, precisamos calcular as derivadas da função
avaliadas em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
.
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
Perceba que as derivadas de
se repetem a cada quatro derivações. Então, a sequência das derivadas avaliadas em 0 é:
Passo 4
Agora vamos montar a série de MacLaurin usando os valores das derivadas que encontramos.
Substituindo os valores:
Notamos que os termos com derivadas ímpares são zero, então a série se simplifica para os termos pares:
Resposta
A série de MacLaurin de
é:
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