Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}/{n^{n}}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série é convergente ou divergente. Isso está dentro do conteúdo de Séries Infinita na Matemática. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar a convergência ou divergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite do quociente entre o termo geral da série e quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui nada.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da série: . Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Razão:
Simplificando:

Passo 5

Podemos reescrever como . Então:
Sabemos que tende a quando vai para o infinito.

Passo 6

Então, substituindo:
Como 0 é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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