Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}/{n^{n}}
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série
é convergente ou divergente. Isso está dentro do conteúdo de Séries Infinita na Matemática. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar a convergência ou divergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite do quociente entre o termo geral da série
e
quando
tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui nada.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral da série:
. Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste da Razão:
Simplificando:
Passo 5
Podemos reescrever como
. Então:
Sabemos que
tende a
quando
vai para o infinito.
Passo 6
Então, substituindo:
Como 0 é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série é convergente.
Resposta
A série
é convergente.
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