Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4+3{n}}/{2{n}}

Passo 1

Aqui, precisamos analisar a série . Estamos lidando com séries matemáticas, especificamente determinando se essa série é convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de séries geométricas e aplicar os critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série dividindo-a em duas partes para facilitar a análise:

Passo 3

Vamos analisar a primeira parte: .
Essa é uma série geométrica, onde cada termo pode ser escrito como . Uma série geométrica tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão comum.
Para uma série geométrica, sabemos que:
  • Converge se
  • Diverge se
No nosso caso, , que satisfaz . Portanto, a primeira série converge.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda parte: .
Essa também é uma série geométrica, com razão . Verificando a condição para convergência:
Como , essa série diverge.

Resposta

Como uma das partes da série original diverge, a série completa também é divergente.

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