Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}/{n!}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar se a série é convergente ou divergente. A matéria envolvida aqui é análise de séries infinitas, e para resolver vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a verificar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série convergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos tende a um número finito quando o número de termos vai para o infinito. Para verificar isso, vamos usar o Teste da Razão, que funciona assim:
A gente calcula o limite . Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na série . Aqui, cada termo da série é .
Primeiro, vamos encontrar :

Passo 4

Agora, vamos calcular a razão :

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite dessa razão quando tende ao infinito:
Como esse limite é 0, que é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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