Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+\operatorname{sen} n}/{10^{n}}
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir se a série
converge ou diverge. O conteúdo que a gente vai usar aqui envolve séries infinitas e testes de convergência, como o teste da comparação. Vamos precisar entender como comparar essa série com uma série que a gente já sabe que converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
. Sabemos que
(ou
) sempre fica entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Então,
vai variar entre 0 e 2.
Isso nos dá uma faixa para o numerador:
. Portanto, o termo geral fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar do teste da comparação. Esse teste diz que se todos os termos da nossa série são menores ou iguais aos termos de uma segunda série que sabemos que converge, então a nossa série também converge.
Sabemos que a série
é uma série geométrica com razão
, que é menor que 1. Séries geométricas com
sempre convergem.
Passo 4
Como
e a série
converge, pelo teste da comparação, isso significa que a série original
também converge.
Resposta
A série
é convergente.
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