Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n-1}{\infty}(-1){n-1} e^{2 / n}

Passo 1

Então, a gente tem aqui uma série infinita para analisar: . O objetivo é descobrir se essa série converge (isto é, se ela tem um valor definido) ou diverge (não tem um valor definido). Vamos precisar entender sobre séries alternadas e aplicar alguns testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque o termo faz o sinal dos termos alternar entre positivo e negativo. Séries alternadas muitas vezes convergem, mas precisamos verificar isso usando critérios específicos.

Passo 3

Vamos usar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série alternada converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos são decrescentes: para todo grande suficiente.
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero: .

Passo 4

No nosso caso, os termos são . Vamos verificar a primeira condição:
  • Como aumenta, diminui, então também diminui porque a função exponencial é crescente. Portanto, é satisfeito.

Passo 5

Agora, vamos verificar o limite de quando tende ao infinito:
Então, o limite não é zero. Isso significa que a segunda condição do Teste da Série Alternada não é atendida.

Passo 6

Já que uma das condições do teste não é satisfeita, concluímos que a série não converge pelo Teste da Série Alternada. Além disso, como os termos da série não tendem a zero, a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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