Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n-1}{\infty}(-1){n-1} e^{2 / n}
Passo 1
Então, a gente tem aqui uma série infinita para analisar:
. O objetivo é descobrir se essa série converge (isto é, se ela tem um valor definido) ou diverge (não tem um valor definido). Vamos precisar entender sobre séries alternadas e aplicar alguns testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque o termo
faz o sinal dos termos alternar entre positivo e negativo. Séries alternadas muitas vezes convergem, mas precisamos verificar isso usando critérios específicos.
Passo 3
Vamos usar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série alternada
converge se duas condições forem atendidas:
- Os termos
são decrescentes: para todo grande suficiente. - O limite de
quando tende ao infinito é zero: .
Passo 4
No nosso caso, os termos
são
. Vamos verificar a primeira condição:
- Como
aumenta, diminui, então também diminui porque a função exponencial é crescente. Portanto, é satisfeito.
Passo 5
Agora, vamos verificar o limite de
quando
tende ao infinito:
Então, o limite não é zero. Isso significa que a segunda condição do Teste da Série Alternada não é atendida.
Passo 6
Já que uma das condições do teste não é satisfeita, concluímos que a série não converge pelo Teste da Série Alternada. Além disso, como os termos da série não tendem a zero, a série também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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