Use o teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}/{n \ln n}

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. Temos que usar o Teste da Integral para descobrir se a série converge ou diverge. Esse teste é útil para séries cujos termos são funções positivas e decrescentes. Então, vamos precisar lembrar como funciona o Teste da Integral e como calcular integrais impróprias.

Passo 2

O Teste da Integral diz que se for contínua, positiva e decrescente para , então a série e a integral convergem ou divergem juntas. Nesse caso, vamos considerar a função .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral imprópria . Para resolver isso, fazemos uma substituição:
  • Seja , então .
Substituindo na integral, temos:
Essa integral é igual a:
Como a integral resulta em infinito, ela diverge. Pelo Teste da Integral, se a integral diverge, a série também diverge.

Resposta

A série é divergente.

Exercícios relacionados

Use o teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente:
Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{\sqrt{n}}/{2 n+3}
Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}/{\sqrt{n^{2}+1}}
Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+\operatorname{sen} n}/{10^{n}}