Use o teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}/{n \ln n}
Passo 1
Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. Temos que usar o Teste da Integral para descobrir se a série converge ou diverge. Esse teste é útil para séries cujos termos são funções positivas e decrescentes. Então, vamos precisar lembrar como funciona o Teste da Integral e como calcular integrais impróprias.
Passo 2
O Teste da Integral diz que se for contínua, positiva e decrescente para , então a série e a integral convergem ou divergem juntas. Nesse caso, vamos considerar a função .
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral imprópria . Para resolver isso, fazemos uma substituição:
Seja , então .
Substituindo na integral, temos:
Essa integral é igual a:
Como a integral resulta em infinito, ela diverge. Pelo Teste da Integral, se a integral diverge, a série também diverge.