Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}/{(2 n)!}
Passo 1
Vamos analisar a série
. Estamos trabalhando com séries infinitas, especificamente com termos que envolvem fatoriais. Para determinar se essa série é convergente ou divergente, precisamos aplicar um teste de convergência apropriado.
Passo 2
Primeiro, lembremos que o fatorial, representado por “!”, é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número. Por exemplo,
. Isso significa que
cresce muito rapidamente conforme n aumenta.
Passo 3
Observando os termos da série, temos
. Como o fatorial no denominador cresce rapidamente, os termos da série diminuem rapidamente à medida que n aumenta, o que é um bom indicativo de convergência.
Passo 4
Para verificar a convergência, vamos usar o Teste da Comparação. Sabemos que
, portanto:
Isso significa que cada termo da nossa série original é menor ou igual ao termo correspondente da série
.
Passo 5
A série comparativa
é conhecida por ser convergente, já que combina a série geométrica
, que converge, com a série exponencial
, que também converge. Portanto, pela comparação, nossa série original também converge.
Resposta
A série
é convergente.