Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}/{(2 n)!}

Passo 1

Vamos analisar a série . Estamos trabalhando com séries infinitas, especificamente com termos que envolvem fatoriais. Para determinar se essa série é convergente ou divergente, precisamos aplicar um teste de convergência apropriado.

Passo 2

Primeiro, lembremos que o fatorial, representado por “!”, é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número. Por exemplo, . Isso significa que cresce muito rapidamente conforme n aumenta.

Passo 3

Observando os termos da série, temos . Como o fatorial no denominador cresce rapidamente, os termos da série diminuem rapidamente à medida que n aumenta, o que é um bom indicativo de convergência.

Passo 4

Para verificar a convergência, vamos usar o Teste da Comparação. Sabemos que , portanto:
Isso significa que cada termo da nossa série original é menor ou igual ao termo correspondente da série .

Passo 5

A série comparativa é conhecida por ser convergente, já que combina a série geométrica , que converge, com a série exponencial , que também converge. Portanto, pela comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

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