Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}/{\sqrt{n^{2}+1}}
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série pra analisar:
. O conteúdo envolve séries infinitas e queremos descobrir se essa série converge (ou seja, soma pra um número finito) ou diverge (não tem um valor finito). Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência que a gente aprende em cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada geral na série:
. Notamos que, conforme n fica grande, o termo
domina o +1, então a expressão dentro da raiz fica aproximadamente
. Isso significa que para n bem grande,
.
Passo 3
Agora, vamos comparar essa série com a série harmônica, que é
. Sabemos que a série harmônica é divergente, ou seja, ela não soma pra um número finito.
Passo 4
Para fazer uma comparação mais formal, vamos usar o Teste do Limite Comparativo. A ideia é calcular o limite do quociente entre os termos das duas séries quando n tende ao infinito:
Passo 5
Como o limite é um número positivo e finito (no caso, 1), o Teste do Limite Comparativo nos diz que a série que estamos analisando tem o mesmo comportamento da série com a qual estamos comparando. Ou seja, se a série comparativa diverge, a nossa série também diverge.
Resposta
Portanto, a série
diverge.
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