Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{n{2}}/{n{3}+4}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. A matéria que a gente vai usar aqui é a de séries alternadas, e vamos precisar verificar alguns critérios para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. Aqui, temos uma série alternada porque o sinal dos termos muda de positivo para negativo devido ao . A parte que multiplica esse sinal é .

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma converge se:
  1. Os termos são positivos.
  2. Os termos estão diminuindo: .
  3. O limite dos termos tende a zero: .
Vamos verificar cada um desses pontos.

Passo 4

Primeiro, os termos são positivos para todo natural, então o primeiro critério está satisfeito.

Passo 5

Segundo, vamos ver se está diminuindo. Observe que, conforme aumenta, o numerador cresce, mas o denominador cresce mais rápido porque o termo domina. Isso faz com que diminua conforme aumenta.

Passo 6

Terceiro, vamos calcular o limite dos termos quando tende ao infinito:
Então, o limite dos termos é zero.

Resposta

Como todos os critérios do Teste da Série Alternada foram atendidos, a série é convergente.

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