Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{n{2}}/{n{3}+4}
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. A matéria que a gente vai usar aqui é a de séries alternadas, e vamos precisar verificar alguns critérios para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série. Aqui, temos uma série alternada porque o sinal dos termos muda de positivo para negativo devido ao
. A parte que multiplica esse sinal é
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma
converge se:
- Os termos
são positivos. - Os termos
estão diminuindo: . - O limite dos termos tende a zero:
.
Vamos verificar cada um desses pontos.
Passo 4
Primeiro, os termos
são positivos para todo
natural, então o primeiro critério está satisfeito.
Passo 5
Segundo, vamos ver se
está diminuindo. Observe que, conforme
aumenta, o numerador
cresce, mas o denominador
cresce mais rápido porque o termo
domina. Isso faz com que
diminua conforme
aumenta.
Passo 6
Terceiro, vamos calcular o limite dos termos quando
tende ao infinito:
Então, o limite dos termos é zero.
Resposta
Como todos os critérios do Teste da Série Alternada foram atendidos, a série
é convergente.
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