Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}/{2 n+1}
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série
é convergente ou divergente. Estamos lidando com séries numéricas aqui, e para resolver, vamos usar o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque os termos alternam sinais devido ao
. O Teste da Série Alternada é útil justamente para esse tipo de série.
Passo 3
O Teste da Série Alternada tem dois critérios principais para determinar a convergência:
- Os termos positivos
devem ser decrescentes. - O limite dos termos
quando tende ao infinito deve ser zero.
Vamos verificar cada um desses critérios.
Passo 4
Primeiro, vamos ver se
é uma sequência decrescente. Observando que, conforme
aumenta, o denominador
também aumenta, o que faz com que
diminua. Então, a sequência é decrescente.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Como o limite é zero, o segundo critério também é satisfeito.
Passo 6
Como ambos os critérios do Teste da Série Alternada são atendidos (sequência decrescente e limite zero), podemos concluir que a série é convergente.
Resposta
A série
é convergente.
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