Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}/{2 n+1}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série é convergente ou divergente. Estamos lidando com séries numéricas aqui, e para resolver, vamos usar o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque os termos alternam sinais devido ao . O Teste da Série Alternada é útil justamente para esse tipo de série.

Passo 3

O Teste da Série Alternada tem dois critérios principais para determinar a convergência:
  1. Os termos positivos devem ser decrescentes.
  2. O limite dos termos quando tende ao infinito deve ser zero.
Vamos verificar cada um desses critérios.

Passo 4

Primeiro, vamos ver se é uma sequência decrescente. Observando que, conforme aumenta, o denominador também aumenta, o que faz com que diminua. Então, a sequência é decrescente.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Como o limite é zero, o segundo critério também é satisfeito.

Passo 6

Como ambos os critérios do Teste da Série Alternada são atendidos (sequência decrescente e limite zero), podemos concluir que a série é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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