Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{n^{2} 2^{n}}/{n!}
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série é convergente ou divergente. Esse tipo de problema faz parte da matéria de Séries e Sequências, especificamente tratando de Testes de Convergência. Para resolver, vamos precisar entender e aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a verificar se uma série infinita converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a série ser convergente ou divergente. Uma série converge se a soma dos seus termos se aproxima de um valor finito quando vamos adicionando mais e mais termos. Caso contrário, ela diverge.
Passo 3
Observando a série , vemos que ela tem termos alternados por causa do fator . Isso sugere que poderíamos usar o Teste da Série Alternada, mas para garantir, vamos aplicar o Teste da Razão, que funciona bem para termos com fatoriais e exponenciais.
Passo 4
O Teste da Razão nos diz para calcular o limite , onde é o termo geral da série. Se , a série converge absolutamente; se , ela diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 5
Vamos identificar e :
Como vamos considerar o valor absoluto, o sinal não importa:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Como e , de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.