Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1} \operatorname{arctg} n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. O que a gente vai usar aqui é o Teste da Série Alternada, que ajuda a determinar a convergência de séries que têm termos que alternam sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender um pouco sobre o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série do tipo converge se duas condições forem atendidas:
  1. Monotonicidade Decrescente: Os termos devem ser positivos e decrescer, ou seja, cada termo é menor ou igual ao anterior.
  2. Limite Zero: O limite de quando tende ao infinito deve ser zero, ou seja, .
Se essas duas condições forem verdadeiras, a série converge. Se não, a série pode divergir.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série: .
  1. Identificando : Aqui, . É importante notar que é sempre positivo para todo .
  2. Verificando a Monotonicidade: A função é crescente, ou seja, conforme aumenta, também aumenta. Isso significa que os termos não estão decrescendo, o que já quebra uma das condições do teste.
  3. Calculando o Limite:
    Vamos calcular .
    Sabemos que:
    Isso significa que o limite não é zero, mas sim .

Resposta

Como uma das condições do Teste da Série Alternada não é atendida (o limite dos termos não é zero), a série diverge.

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