Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1} \operatorname{arctg} n
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. O que a gente vai usar aqui é o Teste da Série Alternada, que ajuda a determinar a convergência de séries que têm termos que alternam sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender um pouco sobre o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série do tipo
converge se duas condições forem atendidas:
- Monotonicidade Decrescente: Os termos
devem ser positivos e decrescer, ou seja, cada termo é menor ou igual ao anterior. - Limite Zero: O limite de
quando tende ao infinito deve ser zero, ou seja, .
Se essas duas condições forem verdadeiras, a série converge. Se não, a série pode divergir.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série:
.
-
Identificando
: Aqui, . É importante notar que é sempre positivo para todo . -
Verificando a Monotonicidade: A função
é crescente, ou seja, conforme aumenta, também aumenta. Isso significa que os termos não estão decrescendo, o que já quebra uma das condições do teste. -
Calculando o Limite:Vamos calcular
. Sabemos que:Isso significa que o limite não é zero, mas sim.
Resposta
Como uma das condições do Teste da Série Alternada não é atendida (o limite dos termos não é zero), a série
diverge.
Exercícios relacionados
Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{n{2}}/{n{3}+4}
Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}/{2 n+1}
Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{n^{2} 2^{n}}/{n!}
Encontre a série de MacLaurin de
usando a definição: $f(x)=\frac{1}{1-x}