Use o teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente usar o Teste da Integral para descobrir se a série é convergente ou divergente. Ou seja, vamos precisar entender um pouco sobre séries e integrais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Ele serve para determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a integral correspondente for finita, a série converge; se for infinita, a série diverge.

Passo 3

Agora, vamos identificar a função que corresponde aos termos da série. No nosso caso, a função é . Para aplicar o Teste da Integral, substituímos por para ter uma função contínua: .

Passo 4

Vamos configurar a integral de até o infinito da função :

Passo 5

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, . Quando , , e quando , . Substituindo na integral:
Agora, integramos:

Resposta

Como a integral é finita ( ), segundo o Teste da Integral, a série converge.

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Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{\sqrt{n}}/{2 n+3}
Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}/{n^{2} \sqrt{n}}
Use o teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}/{n \ln n}
Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}/{\sqrt{n^{2}+1}}