Use o teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente: sumn=1^infty 1/(2 n+1)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente usar o Teste da Integral para descobrir se a série sumn=1^infty 1(2n+1)^3 é convergente ou divergente. Ou seja, vamos precisar entender um pouco sobre séries e integrais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Ele serve para determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a integral correspondente for finita, a série converge; se for infinita, a série diverge.

Passo 3

Agora, vamos identificar a função que corresponde aos termos da série. No nosso caso, a função é f(n) = 1(2n+1)^3. Para aplicar o Teste da Integral, substituímos n por x para ter uma função contínua: f(x) = 1(2x+1)^3.

Passo 4

Vamos configurar a integral de x = 1 até o infinito da função f(x):
integral1^infty 1(2x+1)^3 , dx

Passo 5

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja u = 2x + 1, então du = 2 dx, ou seja, dx = du2. Quando x = 1, u = 3, e quando x to infty, u to infty. Substituindo na integral:
integral3^infty 1u^3 cdot du2 = 12 integral3^infty u^-3 , du
Agora, integramos:
12 [ u^-2-2 ]3^infty = -14 [ 1u^2 ]3^infty = -14 ( 0 - 19 ) = 136

Resposta

Como a integral integral1^infty 1(2x+1)^3 , dx é finita ( 136), segundo o Teste da Integral, a série sumn=1^infty 1(2n+1)^3 converge.

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