Use o teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente usar o Teste da Integral para descobrir se a série
é convergente ou divergente. Ou seja, vamos precisar entender um pouco sobre séries e integrais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Ele serve para determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a integral correspondente for finita, a série converge; se for infinita, a série diverge.
Passo 3
Agora, vamos identificar a função que corresponde aos termos da série. No nosso caso, a função é
. Para aplicar o Teste da Integral, substituímos
por
para ter uma função contínua:
.
Passo 4
Vamos configurar a integral de
até o infinito da função
:
Passo 5
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. Quando
,
, e quando
,
. Substituindo na integral:
Agora, integramos:
Resposta
Como a integral
é finita (
), segundo o Teste da Integral, a série
converge.
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