Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+\left(\frac{2}{3}\right)^{n}}

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa aqui. O exercício pede para a gente descobrir se a série infinita converge ou diverge. Isso envolve conceitos de séries infinitas, e a gente vai precisar usar alguns testes de convergência para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é o termo geral da série. Aqui, o termo geral é . Nosso objetivo é ver o que acontece com a soma desses termos quando vamos adicionando cada vez mais termos.

Passo 3

Uma coisa importante em séries infinitas é verificar o limite do termo geral quando tende ao infinito. Se esse limite não for zero, a série necessariamente diverge. Então, vamos calcular .

Passo 4

Calculando o limite:
Sabemos que tende a zero conforme aumenta, porque é uma fração menor que 1 elevada a uma potência crescente. Então:

Passo 5

Como o limite do termo geral é 1, que é diferente de zero, isso nos diz que a série não está diminuindo para zero. Segundo o Teste da Divergência, se , a série diverge.

Resposta

Portanto, a série diverge.

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