Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+\left(\frac{2}{3}\right)^{n}}
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa aqui. O exercício pede para a gente descobrir se a série infinita
converge ou diverge. Isso envolve conceitos de séries infinitas, e a gente vai precisar usar alguns testes de convergência para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é o termo geral da série. Aqui, o termo geral é
. Nosso objetivo é ver o que acontece com a soma desses termos quando vamos adicionando cada vez mais termos.
Passo 3
Uma coisa importante em séries infinitas é verificar o limite do termo geral quando
tende ao infinito. Se esse limite não for zero, a série necessariamente diverge. Então, vamos calcular
.
Passo 4
Calculando o limite:
Sabemos que
tende a zero conforme
aumenta, porque
é uma fração menor que 1 elevada a uma potência crescente. Então:
Passo 5
Como o limite do termo geral
é 1, que é diferente de zero, isso nos diz que a série não está diminuindo para zero. Segundo o Teste da Divergência, se
, a série diverge.
Resposta
Portanto, a série
diverge.
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