Encontre a série de MacLaurin de
usando a definição.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a série de MacLaurin da função . A série de MacLaurin é uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos polinomiais centrada em
. Para resolver isso, vamos usar a definição da série de MacLaurin, que envolve calcular as derivadas da função em
e montar a série a partir desses valores.
Passo 2
A fórmula geral da série de MacLaurin para uma função
é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de , avaliá-las em
, e depois inserir esses valores na fórmula para montar a série.
Passo 3
Vamos calcular as primeiras derivadas de
e avaliar em
:
-
Primeira derivada:Avaliando em
: -
Segunda derivada:Avaliando em
: -
Terceira derivada:Avaliando em
: -
Quarta derivada:Avaliando em
:
Podemos notar um padrão: as derivadas de ordem par avaliam para zero, e as de ordem ímpar alternam sinais.
Passo 4
Com base nas derivadas calculadas, vamos montar os primeiros termos da série de MacLaurin:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A série de MacLaurin de é:
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