Encontre a série de MacLaurin de f(x) usando a definição. f(x) = sen(pi x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a série de MacLaurin da função . A série de MacLaurin é uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos polinomiais centrada em . Para resolver isso, vamos usar a definição da série de MacLaurin, que envolve calcular as derivadas da função em e montar a série a partir desses valores.

Passo 2

A fórmula geral da série de MacLaurin para uma função é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de , avaliá-las em , e depois inserir esses valores na fórmula para montar a série.

Passo 3

Vamos calcular as primeiras derivadas de e avaliar em :
  1. Primeira derivada:
    Avaliando em :
  2. Segunda derivada:
    Avaliando em :
  3. Terceira derivada:
    Avaliando em :
  4. Quarta derivada:
    Avaliando em :
Podemos notar um padrão: as derivadas de ordem par avaliam para zero, e as de ordem ímpar alternam sinais.

Passo 4

Com base nas derivadas calculadas, vamos montar os primeiros termos da série de MacLaurin:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A série de MacLaurin de é:

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