Determine se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Uma série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal a cada termo, como é o caso do na nossa série. O Teste da Série Alternada nos ajuda a determinar a convergência de tais séries. Esse teste diz que uma série da forma converge se:
  1. Os termos são positivos.
  2. Os termos são decrescentes.
  3. O limite de quando tende ao infinito é zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos identificar na nossa série:
Primeiro, observamos que é positivo para todo , já que o seno de um número positivo menor que é positivo.

Passo 4

Agora, vamos verificar se é uma sequência decrescente. Para isso, analisamos a derivada de em relação a :
Como a derivada é negativa, isso significa que é decrescente conforme aumenta.

Passo 5

Finalmente, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Portanto, .

Resposta

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, a série é convergente.

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