Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Uma série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal a cada termo, como é o caso do
na nossa série. O Teste da Série Alternada nos ajuda a determinar a convergência de tais séries. Esse teste diz que uma série da forma
converge se:
- Os termos
são positivos. - Os termos
são decrescentes. - O limite de
quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Passo 3
Vamos identificar
na nossa série:
Primeiro, observamos que
é positivo para todo
, já que o seno de um número positivo menor que
é positivo.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é uma sequência decrescente. Para isso, analisamos a derivada de em relação a
:
Como a derivada é negativa, isso significa que
é decrescente conforme
aumenta.
Passo 5
Finalmente, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Portanto,
.
Resposta
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, a série é convergente.
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