Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{\sqrt{n}}/{2 n+3}

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente descobrir se a série é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de séries alternadas e aplicar alguns testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa série é alternada por causa do termo . Séries alternadas têm termos que mudam de sinal a cada passo, o que pode ajudar na análise da convergência usando o Teste da Série Alternada.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que se os termos forem positivos, decrescentes e tendem a zero quando n vai para o infinito, então a série toda converge.

Passo 4

Vamos verificar o limite dos termos quando n tende ao infinito:
Isso porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, fazendo com que o limite seja zero.

Passo 5

Agora, precisamos ver se os termos são decrescentes. Para isso, comparamos a_{n+1} com :
Isso é verdade para valores grandes de n, então os termos são decrescentes.

Passo 6

Como os termos atendem às três condições do Teste da Série Alternada (são positivos, decrescentes e tendem a zero), podemos concluir que a série é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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