Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{\sqrt{n}}/{2 n+3}
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente descobrir se a série
é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de séries alternadas e aplicar alguns testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa série é alternada por causa do termo
. Séries alternadas têm termos que mudam de sinal a cada passo, o que pode ajudar na análise da convergência usando o Teste da Série Alternada.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que se os termos
forem positivos, decrescentes e tendem a zero quando
vai para o infinito, então a série toda converge.
Passo 4
Vamos verificar o limite dos termos
quando
tende ao infinito:
Isso porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, fazendo com que o limite seja zero.
Passo 5
Agora, precisamos ver se os termos
são decrescentes. Para isso, comparamos
com
:
Isso é verdade para valores grandes de
, então os termos são decrescentes.
Passo 6
Como os termos atendem às três condições do Teste da Série Alternada (são positivos, decrescentes e tendem a zero), podemos concluir que a série é convergente.
Resposta
A série é convergente.
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