Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}/{n^{2} \sqrt{n}}

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita para analisar: . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela se soma a um número finito) ou diverge (se ela cresce sem limite). Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Razão ou o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. A gente tem . Podemos reescrever isso como , já que .

Passo 3

Agora, vamos dividir o numerador: .

Passo 4

A série original agora está escrita como . Podemos separar isso em duas séries:

Passo 5

Vamos analisar cada série separadamente. Ambas são séries do tipo -série, que tem a forma . Sabemos que uma -série converge se e diverge se .

Passo 6

Para , temos , que é maior que 1. Então, essa série converge.
Para , temos , que também é maior que 1. Então, essa série também converge.

Passo 7

Como ambas as séries individuais convergem, a combinação delas também converge.

Resposta

A série é convergente.

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