Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}/{n^{2} \sqrt{n}}
Passo 1
Então, a gente tem uma série infinita para analisar:
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela se soma a um número finito) ou diverge (se ela cresce sem limite). Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Razão ou o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. A gente tem
. Podemos reescrever isso como
, já que
.
Passo 3
Agora, vamos dividir o numerador:
.
Passo 4
A série original agora está escrita como
. Podemos separar isso em duas séries:
Passo 5
Vamos analisar cada série separadamente. Ambas são séries do tipo
-série, que tem a forma
. Sabemos que uma
-série converge se
e diverge se
.
Passo 6
Para
, temos
, que é maior que 1. Então, essa série converge.
Para
, temos
, que também é maior que 1. Então, essa série também converge.
Passo 7
Como ambas as séries individuais convergem, a combinação delas
também converge.
Resposta
A série
é convergente.
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