Encontre a série de MacLaurin de usando a definição: $f(x)=\frac{1}{1-x}

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a série de MacLaurin da função usando a definição. A série de MacLaurin é basicamente uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de termos polinomiais, centrada em . Para resolver isso, vamos usar a definição própria da série de MacLaurin, que envolve derivadas da função avaliadas em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da série de MacLaurin. Ela é dada por:
Ou, de forma geral:
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em .
Primeiro, a função original:
A primeira derivada:
A segunda derivada:
E, de modo geral, a -ésima derivada:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas em :
E, em geral:

Passo 5

Substituindo esses valores na definição da série de MacLaurin:

Resposta

Portanto, a série de MacLaurin de é:

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