Encontre a série de MacLaurin de
usando a definição: $f(x)=\frac{1}{1-x}
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a série de MacLaurin da função
usando a definição. A série de MacLaurin é basicamente uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de termos polinomiais, centrada em
. Para resolver isso, vamos usar a definição própria da série de MacLaurin, que envolve derivadas da função avaliadas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da série de MacLaurin. Ela é dada por:
Ou, de forma geral:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
.
Primeiro, a função original:
A primeira derivada:
A segunda derivada:
E, de modo geral, a
-ésima derivada:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas em
:
E, em geral:
Passo 5
Substituindo esses valores na definição da série de MacLaurin:
Resposta
Portanto, a série de MacLaurin de
é:
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