Encontre a série de MacLaurin de usando a definição: $f(x)=\operatorname{sen} x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a série de MacLaurin da função usando a definição. A série de MacLaurin é um tipo especial de série de Taylor que expande uma função em torno de . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas e como montar a série usando essas derivadas.

Passo 2

Vamos relembrar a definição da série de MacLaurin. A série de MacLaurin para uma função é dada por:
Ou seja, é a soma infinita das derivadas da função avaliadas em 0, multiplicadas pelas potências de divididas pelo fatorial do índice.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em .
E assim por diante. Observamos que as derivadas de seguem um ciclo de 4 funções:

Passo 4

Com as derivadas calculadas, vamos substituir na fórmula da série de MacLaurin:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Resposta

A série de MacLaurin de é:

Exercícios relacionados

Encontre a série de MacLaurin de usando a definição: $f(x)=\frac{1}{1-x}
Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{n^{2} 2^{n}}/{n!}
Calcular
Calcular