Encontre a série de MacLaurin de
usando a definição: $f(x)=\operatorname{sen} x
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a série de MacLaurin da função
usando a definição. A série de MacLaurin é um tipo especial de série de Taylor que expande uma função em torno de
. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas e como montar a série usando essas derivadas.
Passo 2
Vamos relembrar a definição da série de MacLaurin. A série de MacLaurin para uma função
é dada por:
Ou seja, é a soma infinita das derivadas da função avaliadas em 0, multiplicadas pelas potências de
divididas pelo fatorial do índice.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
.
E assim por diante. Observamos que as derivadas de
seguem um ciclo de 4 funções:
Passo 4
Com as derivadas calculadas, vamos substituir na fórmula da série de MacLaurin:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Resposta
A série de MacLaurin de
é:
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usando a definição: $f(x)=\frac{1}{1-x}
Determine se a série é convergente ou divergente: $\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{n^{2} 2^{n}}/{n!}
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