Determine se a série convergente ou divergente.
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Isso está dentro do conteúdo de cálculo, mais especificamente na parte de séries infinitas. Para resolver, vamos precisar usar teste de comparação para analisar o comportamento da série.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergente ou divergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos tende a um número finito quando o número de termos aumenta indefinidamente. Caso contrário, ela é divergente.
Passo 3
Vamos analisar o termo geral da série:
. Para simplificar, vamos observar o comportamento desse termo quando
fica muito grande (ou seja, tendendo ao infinito).
Passo 4
Para valores grandes de
,
aproximadamente é igual a
, porque
é negligenciável em comparação com
. Então,
.
Passo 5
Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
Então, para grandes valores de
, o termo da nossa série se comporta como
.
Passo 6
Sabemos que a série
é uma série p com
. Séries p convergem se
. Portanto,
é convergente.
Passo 7
Agora, vamos usar o teste de comparação. Se o termo da nossa série original é menor ou igual ao termo de uma série convergente para todo
suficientemente grande, então nossa série também converge.
Passo 8
Como mostramos que
e
é convergente, podemos concluir que a série
também é convergente.
Resposta
A série é convergente.
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Determine se a série convergente ou divergente.
a)
a)
Determine se a série convergente ou divergente.
a)
a)
Use o Teste da Integral para determinar se as séries convergem ou divergem:
.
Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado, para
, onde
a região entre as esferas
e
de raios 1 e 2 , respectivamente, centradas na origem.