Determine se a série convergente ou divergente.
e) sumk=1^infty 1k raizk^2+15^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Isso está dentro do conteúdo de cálculo, mais especificamente na parte de séries infinitas. Para resolver, vamos precisar usar teste de comparação para analisar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergente ou divergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos tende a um número finito quando o número de termos aumenta indefinidamente. Caso contrário, ela é divergente.

Passo 3

Vamos analisar o termo geral da série: . Para simplificar, vamos observar o comportamento desse termo quando fica muito grande (ou seja, tendendo ao infinito).

Passo 4

Para valores grandes de , aproximadamente é igual a , porque é negligenciável em comparação com . Então, .

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
1k raizk^2+15^2 approx 1k cdot k = 1k^2
Então, para grandes valores de , o termo da nossa série se comporta como .

Passo 6

Sabemos que a série é uma série p com . Séries p convergem se . Portanto, é convergente.

Passo 7

Agora, vamos usar o teste de comparação. Se o termo da nossa série original é menor ou igual ao termo de uma série convergente para todo suficientemente grande, então nossa série também converge.

Passo 8

Como mostramos que e é convergente, podemos concluir que a série também é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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