Determine se a série convergente ou divergente.
a)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e aplicar um teste de convergência adequado.

Passo 2

Observamos que a série é alternada devido ao termo . Séries alternadas são aquelas cujos termos mudam de sinal de forma periódica. Para analisar a convergência de séries alternadas, usamos o Critério da Série Alternada.

Passo 3

O Critério da Série Alternada diz que uma série da forma converge se forem satisfecidas três condições:
  1. Os termos são positivos.
  2. A sequência é monotonamente decrescente, ou seja, para todo .
  3. O limite .

Passo 4

Aplicando essas condições à nossa série:
  1. Positividade: é positivo para todo porque quando .
  2. Decrescimento: Vamos verificar se é decrescente. Como aumenta conforme aumenta, o denominador cresce, fazendo com que diminua. Portanto, .
  3. Limite: Calculamos o limite:
Isso ocorre porque tende ao infinito conforme aumenta.

Passo 5

Todas as três condições do Critério da Série Alternada são satisfeitas:
  1. .
  2. é decrescente.
  3. .
Portanto, segundo o critério, a série é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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e)
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g)
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