Determine se a série convergente ou divergente.
a)
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Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos determinar se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e aplicar um teste de convergência adequado.
Passo 2
Observamos que a série é alternada devido ao termo
. Séries alternadas são aquelas cujos termos mudam de sinal de forma periódica. Para analisar a convergência de séries alternadas, usamos o Critério da Série Alternada.
Passo 3
O Critério da Série Alternada diz que uma série da forma
converge se forem satisfecidas três condições:
- Os termos
são positivos. - A sequência
é monotonamente decrescente, ou seja, para todo . - O limite
.
Passo 4
Aplicando essas condições à nossa série:
- Positividade:
é positivo para todo porque quando . - Decrescimento: Vamos verificar se
é decrescente. Como aumenta conforme aumenta, o denominador cresce, fazendo com que diminua. Portanto, . - Limite: Calculamos o limite:
Isso ocorre porque
tende ao infinito conforme
aumenta.
Passo 5
Todas as três condições do Critério da Série Alternada são satisfeitas:
-
. -
é decrescente. -
.
Portanto, segundo o critério, a série é convergente.
Resposta
A série
é convergente.
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e)
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g)
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