Determine se a série convergente ou divergente.
a)
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Passo 1
Neste exercício, precisamos determinar se a série
é convergente ou divergente. Vamos usar o Teste de Comparação para séries infinitas, que nos ajuda a comparar a série dada com outra série que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, observamos o termo geral da série:
Para simplificar, vamos analisar o comportamento de
quando
fica muito grande. Quando
tende ao infinito, o termo
domina o denominador, então podemos aproximar:
Isso sugere que podemos comparar nossa série com a série
, que é uma série p com
.
Passo 3
Sabemos que a série
converge se
. No nosso caso,
, então a série
converge.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste de Comparação. Como
para todo
, e a série
converge (é uma série p multiplicada por uma constante), podemos concluir que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.
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Use o Teste da Integral para determinar se as séries convergem ou divergem:
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