Determine se a série convergente ou divergente.
a) sumk=1^infty 5 k7 k^3+1

Passo 1

Neste exercício, precisamos determinar se a série é convergente ou divergente. Vamos usar o Teste de Comparação para séries infinitas, que nos ajuda a comparar a série dada com outra série que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, observamos o termo geral da série:
ak = 5k7k^3 + 1
Para simplificar, vamos analisar o comportamento de ak approx 5k7k^3 = 57k^2 quando fica muito grande. Quando tende ao infinito, o termo domina o denominador, então podemos aproximar:
Isso sugere que podemos comparar nossa série com a série , que é uma série p com .

Passo 3

Sabemos que a série converge se . No nosso caso, , então a série converge.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste de Comparação. Como para todo , e a série converge (é uma série p multiplicada por uma constante), podemos concluir que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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