Determine se a série é convergente ou divergente. sumn=1^infty ln (n^2+12 n^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas, mais especificamente sobre critérios de convergência. Para resolver, vamos precisar entender propriedades dos logaritmos e aplicar algum teste de convergência de séries, como o teste da série telescópica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Sabemos que ln (n^2+12 n^2+1) = ln(n^2+1) - ln(2n^2+1) , então:

Passo 3

Agora, observando os dois termos ln(n^2+1) approx ln(n^2) = 2ln(n) e ln(2n^2+1) approx ln(2n^2) = ln(2) + 2ln(n) , podemos pensar em como eles se comportam conforme cresce. Para grandes valores de , e , então:

Passo 4

Substituindo essas aproximações na expressão original:
ln (n^2+12 n^2+1) approx 2ln(n) - (ln(2) + 2ln(n)) = -ln(2)
Isso sugere que, para grandes , cada termo da série está se aproximando de , que é uma constante negativa.

Passo 5

Se considerarmos a soma dos termos que se aproximam de uma constante sumn=1^infty -ln(2) = -ln(2) + (-ln(2)) + (-ln(2)) + dots , a série seria algo como somar infinitamente , ou seja:
Essa soma não tende a um valor finito; na verdade, ela cresce sem limites negativos.

Passo 6

Portanto, a série não converge para um número finito, mas sim diverge para menos infinito.

Resposta

A série é divergente.

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