Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série
converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas, mais especificamente sobre critérios de convergência. Para resolver, vamos precisar entender propriedades dos logaritmos e aplicar algum teste de convergência de séries, como o teste da série telescópica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, observando os dois termos
e
, podemos pensar em como eles se comportam conforme
cresce. Para grandes valores de
,
e
, então:
Passo 4
Substituindo essas aproximações na expressão original:
Isso sugere que, para grandes
, cada termo da série está se aproximando de
, que é uma constante negativa.
Passo 5
Se considerarmos a soma dos termos que se aproximam de uma constante
, a série seria algo como somar infinitamente
, ou seja:
Essa soma não tende a um valor finito; na verdade, ela cresce sem limites negativos.
Passo 6
Portanto, a série
não converge para um número finito, mas sim diverge para menos infinito.
Resposta
A série
é divergente.
Exercícios relacionados
Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de
.
Use o teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Determine se a série é convergente ou divergente.
Encontre a série de MacLaurin de
usando a definição.