Determine se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas, mais especificamente sobre critérios de convergência. Para resolver, vamos precisar entender propriedades dos logaritmos e aplicar algum teste de convergência de séries, como o teste da série telescópica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, observando os dois termos e , podemos pensar em como eles se comportam conforme cresce. Para grandes valores de , e , então:

Passo 4

Substituindo essas aproximações na expressão original:
Isso sugere que, para grandes , cada termo da série está se aproximando de , que é uma constante negativa.

Passo 5

Se considerarmos a soma dos termos que se aproximam de uma constante , a série seria algo como somar infinitamente , ou seja:
Essa soma não tende a um valor finito; na verdade, ela cresce sem limites negativos.

Passo 6

Portanto, a série não converge para um número finito, mas sim diverge para menos infinito.

Resposta

A série é divergente.

Exercícios relacionados

Encontre a série de Taylor de centrada no valor dado de .
Use o teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Determine se a série é convergente ou divergente.
Encontre a série de MacLaurin de usando a definição.