Determine se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o teste das séries alternadas, que faz parte do estudo de séries infinitas em cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. Aqui, temos uma série alternada porque o fator alterna os sinais dos termos. O termo geral sem o sinal é .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste das Séries Alternadas. Esse teste diz que uma série alternada converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são decrescentes, ou seja, para todo n a partir de algum valor.
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Vamos verificar essas duas condições.

Passo 4

1. Verificando se é decrescente:
Vamos analisar . Simplificando, podemos escrever:
À medida que n aumenta, fica cada vez menor, então diminui conforme n cresce. Portanto, é decrescente.
2. Verificando o limite de :
Vamos calcular :
Como o limite é zero, a segunda condição do teste está satisfeita.

Resposta

Portanto, pela aplicação do teste das séries alternadas, a série é convergente.

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