Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o teste das séries alternadas, que faz parte do estudo de séries infinitas em cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série. Aqui, temos uma série alternada porque o fator
alterna os sinais dos termos. O termo geral sem o sinal é
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste das Séries Alternadas. Esse teste diz que uma série alternada
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são decrescentes, ou seja, para todo n a partir de algum valor. - O limite de
quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Vamos verificar essas duas condições.
Passo 4
1. Verificando se
é decrescente:
Vamos analisar
. Simplificando, podemos escrever:
À medida que n aumenta,
fica cada vez menor, então
diminui conforme n cresce. Portanto,
é decrescente.
2. Verificando o limite de
:
Vamos calcular
:
Como o limite é zero, a segunda condição do teste está satisfeita.
Resposta
Portanto, pela aplicação do teste das séries alternadas, a série
é convergente.
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centrada no valor dado de
.
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