Use o teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. sumn=3^infty 3 n-4/n^2-2 n

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para a gente usar o Teste da Integral para decidir se a série converge ou diverge. Então, vamos precisar entender como aplicar esse teste, que basicamente relaciona a soma de uma série com uma integral, facilitando a análise da convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que podemos usar o Teste da Integral. Para isso, a função precisa ser positiva, decreasing (decrescente) e contínua para . Observando o numerador e o denominador:
  • Positiva: Para , e .
  • Contínua: Não tem pontos de descontinuidade para .
  • Decrescente: Vamos verificar derivando em relação a e mostrando que a derivada é negativa.

Passo 3

Vamos derivar f'(x) = (3)(x^2 - 2x) - (3x - 4)(2x - 2)(x^2 - 2x)^2 :
3x^2 - 6x - (6x^2 - 6x - 8x + 8) = 3x^2 - 6x - 6x^2 + 14x - 8 = -3x^2 + 8x - 8
Simplificando o numerador:
Para , esse polinômio é negativo (já que o termo domina e tem coeficiente negativo). Portanto, , confirmando que é decrescente.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Integral. Calculamos a integral de integral3^infty 3x - 4x^2 - 2x , dx de 3 a 3x - 4x^2 - 2x = 3x - 4x(x - 2) = Ax + Bx - 2 :
3x - 4 = A(x - 2) + Bx
Primeiro, simplificamos a fração:
3(2) - 4 = A(0) + B(2) Rightarrow 2 = 2B Rightarrow B = 1
Resolvendo para -4 = A(-2) + 0 Rightarrow A = 2 e 3x - 4x^2 - 2x = 2x + 1x - 2 :
integral (2x + 1x - 2) dx = 2 ln|x| + ln|x - 2| + C
Para limb to infty [2 ln b + ln (b - 2) - (2 ln 3 + ln 1)] = infty :
Para :
Então,
Agora, integramos:
Avaliada de 3 a :

Passo 5

Como a integral diverge para , pelo Teste da Integral, a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados