Use o teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para a gente usar o Teste da Integral para decidir se a série converge ou diverge. Então, vamos precisar entender como aplicar esse teste, que basicamente relaciona a soma de uma série com uma integral, facilitando a análise da convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que podemos usar o Teste da Integral. Para isso, a função precisa ser positiva, decreasing (decrescente) e contínua para . Observando o numerador e o denominador:
  • Positiva: Para , e .
  • Contínua: Não tem pontos de descontinuidade para .
  • Decrescente: Vamos verificar derivando em relação a e mostrando que a derivada é negativa.

Passo 3

Vamos derivar :
Simplificando o numerador:
Para , esse polinômio é negativo (já que o termo domina e tem coeficiente negativo). Portanto, , confirmando que é decrescente.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Integral. Calculamos a integral de de 3 a :
Primeiro, simplificamos a fração:
Resolvendo para e :
Para :
Para :
Então,
Agora, integramos:
Avaliada de 3 a :

Passo 5

Como a integral diverge para , pelo Teste da Integral, a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.
Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.
Encontre a série de Taylor de centrada no valor dado de .
Determine se a série é convergente ou divergente.