Use o teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para a gente usar o Teste da Integral para decidir se a série
converge ou diverge. Então, vamos precisar entender como aplicar esse teste, que basicamente relaciona a soma de uma série com uma integral, facilitando a análise da convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que podemos usar o Teste da Integral. Para isso, a função
precisa ser positiva, decreasing (decrescente) e contínua para
. Observando o numerador e o denominador:
- Positiva: Para
, e . - Contínua: Não tem pontos de descontinuidade para
. - Decrescente: Vamos verificar derivando
em relação a e mostrando que a derivada é negativa.
Passo 3
Vamos derivar
:
Simplificando o numerador:
Para
, esse polinômio é negativo (já que o termo
domina e tem coeficiente negativo). Portanto,
, confirmando que
é decrescente.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste da Integral. Calculamos a integral de
de 3 a
:
Primeiro, simplificamos a fração:
Resolvendo para
e
:
Para
:
Para
:
Então,
Agora, integramos:
Avaliada de 3 a
:
Passo 5
Como a integral diverge para
, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Encontre uma fórmula para o termo geral
da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.
Encontre uma fórmula para o termo geral
da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.
Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de
.
Determine se a série é convergente ou divergente.