Encontre a série de Taylor de centrada no valor dado de .

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar a série de Taylor da função , centrada em . Isso significa que vamos expandir em uma série de potências em torno de . Para isso, vamos precisar conhecer a definição da série de Taylor e como aplicá-la a funções racionais como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. Ela é uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico . A fórmula geral da série de Taylor para centrada em é:
Onde é a n-ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Para encontrar a série de Taylor de centrada em , precisamos calcular as derivadas de até o n-ésimo grau e avaliá-las em . Vamos começar calculando algumas derivadas para identificar um padrão.
A primeira derivada de é:
A segunda derivada é:
A terceira derivada é:
E assim por diante. Observamos que a n-ésima derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas em :
Simplificando os sinais:

Passo 5

Substituindo na fórmula da série de Taylor, temos:
Podemos simplificar ainda mais:

Passo 6

Reconhecemos que a série é uma série geométrica que converge para quando . Aqui, , então a condição de convergência é , ou seja, .

Resposta

A série de Taylor de centrada em é:
válida para .

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