Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe está pedindo para a gente descobrir se a série é convergente ou divergente. Aqui, estamos trabalhando com séries infinitas e fatorial. Para resolver isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência para séries, especialmente o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série convergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos tende a um número finito quando somamos infinitos termos. Se isso não acontecer, a série é divergente.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que é muito útil quando temos termos que envolvem fatoriais. O teste diz que, para a série , se :
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos identificar na nossa série: .
Agora, calculamos :
Passo 5
Agora, vamos calcular a razão :
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Passo 8
Como o limite e , de acordo com o Teste da Razão, a série converge.