Determine se a série é convergente ou divergente. sumn-1^infty 1(2 n)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe está pedindo para a gente descobrir se a série é convergente ou divergente. Aqui, estamos trabalhando com séries infinitas e fatorial. Para resolver isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência para séries, especialmente o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série convergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos tende a um número finito quando somamos infinitos termos. Se isso não acontecer, a série é divergente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que é muito útil quando temos termos que envolvem fatoriais. O teste diz que, para a série , se :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos identificar an+1 = 1(2(n+1))! = 1(2n + 2)! na nossa série: .
Agora, calculamos :

Passo 5

Agora, vamos calcular a razão an+1an = 1(2n + 2)!1(2n)! = (2n)!(2n + 2)! :

Passo 6

Simplificando a expressão:
(2n)!(2n + 2)! = 1(2n + 1)(2n + 2)

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando limn to infty 1(2n + 1)(2n + 2) = limn to infty 14n^2 + 6n + 2 = 0 tende ao infinito:

Passo 8

Como o limite e , de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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