Encontre a série de MacLaurin de usando a definição.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a série de MacLaurin da função usando a definição. Isso faz parte da matéria de séries de Taylor/MacLaurin em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender a definição da série de MacLaurin e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de MacLaurin. Ela é uma representação de uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função no ponto 0. A fórmula geral da série de MacLaurin para uma função é:
Então, nosso objetivo é encontrar as derivadas de avaliadas em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  1. Primeira derivada:
Avaliando em :
  1. Segunda derivada:
Avaliando em :
  1. Terceira derivada:
Avaliando em :
Podemos notar que, para cada derivada, o padrão é que a -ésima derivada em é igual a .

Passo 4

Agora, vamos montar a série de MacLaurin usando os valores obtidos:
Sabemos que , e as outras derivadas seguem o padrão . Então:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A série de MacLaurin de é:

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