Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, então a gente vai resolver esse exercício que pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de séries infinitas e alguns testes de convergência para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série. O termo geral da série é
. Note que temos uma série alternada por causa do
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar o limite do termo geral quando
tende ao infinito:
Como
se aproxima de 0 quando
cresce, temos:
Então,
Isso significa que o limite não existe porque os termos alternam entre
e
e não se aproximam de nenhum valor específico.
Passo 4
Segundo o Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral), se o limite do termo geral
não for zero, ou não existir, a série
é divergente.
Passo 5
Como vimos que o limite dos termos alterna entre
e
e não tende a zero, aplicamos o Teste da Divergência e concluímos que a série é divergente.
Resposta
A série é divergente.
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