Determine se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, então a gente vai resolver esse exercício que pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de séries infinitas e alguns testes de convergência para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série. O termo geral da série é . Note que temos uma série alternada por causa do .

Passo 3

Agora, precisamos verificar o limite do termo geral quando tende ao infinito:
Como se aproxima de 0 quando cresce, temos:
Então,
Isso significa que o limite não existe porque os termos alternam entre e e não se aproximam de nenhum valor específico.

Passo 4

Segundo o Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral), se o limite do termo geral não for zero, ou não existir, a série é divergente.

Passo 5

Como vimos que o limite dos termos alterna entre e e não tende a zero, aplicamos o Teste da Divergência e concluímos que a série é divergente.

Resposta

A série é divergente.

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