Determine se a série é convergente ou divergente. sumn=1^infty(-1)^n-1 e^2 / n

Passo 1

Beleza, então a gente vai resolver esse exercício que pede para determinar se a série sumn=1^infty(-1)^n-1 e^2 / n é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de séries infinitas e alguns testes de convergência para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série. O termo geral da série é an = (-1)^n-1 e^2 / n. Note que temos uma série alternada por causa do (-1)^n-1.

Passo 3

Agora, precisamos verificar o limite do termo geral quando n tende ao infinito:
limn to infty e^2 / n
Como 2/n se aproxima de 0 quando n cresce, temos:
e^0 = 1
Então,
limn to infty an = limn to infty (-1)^n-1 e^2 / n = (-1)^n-1 cdot 1
Isso significa que o limite não existe porque os termos alternam entre 1 e -1 e não se aproximam de nenhum valor específico.

Passo 4

Segundo o Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral), se o limite do termo geral an não for zero, ou não existir, a série sum an é divergente.

Passo 5

Como vimos que o limite dos termos alterna entre 1 e -1 e não tende a zero, aplicamos o Teste da Divergência e concluímos que a série é divergente.

Resposta

A série é divergente.

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