Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente verificar se a série geométrica
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular a soma. Vamos usar conceitos de séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, uma série geométrica é uma soma infinita onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada de razão
. A fórmula geral é
, onde
é o primeiro termo.
Passo 3
No nosso caso, a série é
. Podemos reescrever isso como
. Aqui, o primeiro termo
é 1 (quando
, qualquer número elevado a 0 é 1), e a razão
é
.
Passo 4
Para saber se a série converge, a gente olha para o valor de
. Se
, a série converge; se
, ela diverge. No nosso caso,
, que é menor que 1. Então, a série converge.
Passo 5
Como a série converge, a gente pode calcular a soma usando a fórmula da soma da série geométrica:
. Substituindo os valores que temos:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A série geométrica
é convergente e sua soma é
.