Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma. sumn=0^infty 1(raiz2)^n

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente verificar se a série geométrica converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular a soma. Vamos usar conceitos de séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, uma série geométrica é uma soma infinita onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada de razão . A fórmula geral é , onde é o primeiro termo.

Passo 3

No nosso caso, a série é . Podemos reescrever isso como . Aqui, o primeiro termo é 1 (quando , qualquer número elevado a 0 é 1), e a razão é .

Passo 4

Para saber se a série converge, a gente olha para o valor de . Se , a série converge; se , ela diverge. No nosso caso, , que é menor que 1. Então, a série converge.

Passo 5

Como a série converge, a gente pode calcular a soma usando a fórmula da soma da série geométrica: S = 11 - 1raiz2 = 1raiz2 - 1raiz2 = raiz2raiz2 - 1 . Substituindo os valores que temos:
S = raiz2(raiz2 + 1)(raiz2 - 1)(raiz2 + 1) = 2 + raiz22 - 1 = 2 + raiz2
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A série geométrica é convergente e sua soma é .

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