Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente verificar se a série geométrica converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular a soma. Vamos usar conceitos de séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, uma série geométrica é uma soma infinita onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada de razão . A fórmula geral é , onde é o primeiro termo.
Passo 3
No nosso caso, a série é . Podemos reescrever isso como . Aqui, o primeiro termo é 1 (quando , qualquer número elevado a 0 é 1), e a razão é .
Passo 4
Para saber se a série converge, a gente olha para o valor de . Se , a série converge; se , ela diverge. No nosso caso, , que é menor que 1. Então, a série converge.
Passo 5
Como a série converge, a gente pode calcular a soma usando a fórmula da soma da série geométrica: . Substituindo os valores que temos:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :