Vamos dar uma olhada na série . O objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor finito) ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que é perfeito quando temos termos que mudam de sinal alternadamente, como é o caso aqui com o .
Passo 2
Primeiro, vamos focar só nos termos positivos da série, sem o fator alternante. Ou seja, vamos considerar . Queremos ver o que acontece com conforme cresce cada vez mais.
Passo 3
Vamos calcular o limite de quando vai para o infinito:
Então, vemos que tende a 0 conforme fica muito grande.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se a sequência está realmente diminuindo à medida que aumenta. Observando a expressão , percebemos que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador quando aumenta. Isso significa que está, de fato, diminuindo.
Passo 5
Com tendendo a 0 e sendo uma sequência decrescente, podemos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste nos diz que se os termos positivos de uma série alternada tendem a zero e estão diminuindo, então a série converge.