Determine se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na série . O objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor finito) ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que é perfeito quando temos termos que mudam de sinal alternadamente, como é o caso aqui com o .

Passo 2

Primeiro, vamos focar só nos termos positivos da série, sem o fator alternante. Ou seja, vamos considerar . Queremos ver o que acontece com conforme cresce cada vez mais.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando vai para o infinito:
Então, vemos que tende a 0 conforme fica muito grande.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a sequência está realmente diminuindo à medida que aumenta. Observando a expressão , percebemos que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador quando aumenta. Isso significa que está, de fato, diminuindo.

Passo 5

Com tendendo a 0 e sendo uma sequência decrescente, podemos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste nos diz que se os termos positivos de uma série alternada tendem a zero e estão diminuindo, então a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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