Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na série
. O objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor finito) ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que é perfeito quando temos termos que mudam de sinal alternadamente, como é o caso aqui com o
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar só nos termos positivos da série, sem o fator alternante. Ou seja, vamos considerar
. Queremos ver o que acontece com
conforme
cresce cada vez mais.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
vai para o infinito:
Então, vemos que
tende a 0 conforme
fica muito grande.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se a sequência
está realmente diminuindo à medida que
aumenta. Observando a expressão
, percebemos que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador quando
aumenta. Isso significa que
está, de fato, diminuindo.
Passo 5
Com
tendendo a 0 e sendo uma sequência decrescente, podemos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste nos diz que se os termos positivos de uma série alternada tendem a zero e estão diminuindo, então a série converge.
Resposta
A série
é convergente.