Determine se a série é convergente ou divergente. sumn-1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4

Passo 1

Vamos dar uma olhada na série sumn=1^infty (-1)^n+1 n^2n^3 + 4. O objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor finito) ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que é perfeito quando temos termos que mudam de sinal alternadamente, como é o caso aqui com o (-1)^n+1.

Passo 2

Primeiro, vamos focar só nos termos positivos da série, sem o fator alternante. Ou seja, vamos considerar bn = n^2n^3 + 4. Queremos ver o que acontece com bn conforme n cresce cada vez mais.

Passo 3

Vamos calcular o limite de bn quando n vai para o infinito:
limn to infty n^2n^3 + 4 = limn to infty 1n + 4n^2 = 0
Então, vemos que bn tende a 0 conforme n fica muito grande.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a sequência bn está realmente diminuindo à medida que n aumenta. Observando a expressão n^2n^3 + 4, percebemos que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador quando n aumenta. Isso significa que bn está, de fato, diminuindo.

Passo 5

Com bn tendendo a 0 e sendo uma sequência decrescente, podemos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste nos diz que se os termos positivos de uma série alternada tendem a zero e estão diminuindo, então a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n+1 n^2n^3 + 4 é convergente.

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