Resolva as equações separáveis:
y' = 3 * raiz(cubica(y^2)), condição inicial y(2) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial separável que a gente tem aqui: com a condição inicial . A matéria que a gente vai usar é equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde a gente consegue separar as variáveis y e x pra resolver mais fácil. Vamos precisar separar as variáveis, integrar ambos os lados e aplicar a condição inicial pra achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que a gente possa separar as variáveis y e x. A equação está escrita como . Nosso objetivo é colocar tudo que envolve y de um lado e tudo que envolve x do outro.

Passo 3

Vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por e multiplicando por :
Agora, temos y de um lado e x do outro, prontos para integrar.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados agora. A integral de é:
E do outro lado, a integral de é:
Então, juntando tudo:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa equação pra achar y em termos de x. Primeiro, dividimos ambos os lados por 3:
Onde é uma constante simplificada. Elevando ambos os lados ao cubo para resolver para y:

Passo 6

Por fim, vamos aplicar a condição inicial pra encontrar o valor de C’. Substituindo x por 2 e y por 0:
Isso só é possível se , então .

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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