Resolva as equações separáveis:
, condição inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial separável que a gente tem aqui:
com a condição inicial
. A matéria que a gente vai usar é equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde a gente consegue separar as variáveis y e x pra resolver mais fácil. Vamos precisar separar as variáveis, integrar ambos os lados e aplicar a condição inicial pra achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que a gente possa separar as variáveis y e x. A equação está escrita como
. Nosso objetivo é colocar tudo que envolve y de um lado e tudo que envolve x do outro.
Passo 3
Vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
:
Agora, temos y de um lado e x do outro, prontos para integrar.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados agora. A integral de
é:
E do outro lado, a integral de
é:
Então, juntando tudo:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa equação pra achar y em termos de x. Primeiro, dividimos ambos os lados por 3:
Onde
é uma constante simplificada. Elevando ambos os lados ao cubo para resolver para y:
Passo 6
Por fim, vamos aplicar a condição inicial
pra encontrar o valor de C’. Substituindo x por 2 e y por 0:
Isso só é possível se
, então
.
Resposta
A solução da equação diferencial é
.
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Determine se a série é convergente ou divergente.
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Se
descreve a posição (em metros) de um objeto no tempo
(em segundos), calcule sua velocidade no instante
dado, usando a fórmula
:
e
Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.