Um trem passa por uma plataforma com velocidade
. Um homem parado no ponto A do trem e um homem parado no ponto B atiram um no outro. A distância entre A e B, medida por alguém no trem, é de 15 m . O condutor do trem diz que os dois homens atiraram simultaneamente. O que diz um observador na plataforma? Qual homem atirou primeiro e quanto mais cedo ele atirou, de acordo com o observador na plataforma?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um trem que está se movendo com uma velocidade de
, onde
é a velocidade da luz. Dentro desse trem, há dois homens, um no ponto A e outro no ponto B, que estão separados por 15 metros. Esses dois homens atiram um no outro ao mesmo tempo, de acordo com o condutor do trem. A pergunta é: o que um observador parado na plataforma vê? Qual dos dois atirou primeiro e com quanto tempo de diferença, segundo esse observador na plataforma?
Vamos resolver isso usando os conceitos da Teoria da Relatividade Especial, especificamente sobre a simultaneidade de eventos em diferentes referenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dois referenciais envolvidos:
-
Referencial do Trem: Onde o trem está em repouso, e os homens A e B estão separados por 15 metros. Segundo esse referencial, os tiros ocorreram exatamente ao mesmo tempo.
-
Referencial da Plataforma: Onde a plataforma está em repouso, e o trem está se movendo a uma velocidade de
.
Para entender o que um observador na plataforma vê, precisamos analisar como a simultaneidade de eventos muda entre esses referenciais devido à velocidade do trem.
Passo 3
Vamos usar a Transformação de Lorentz para relacionar os tempos dos eventos nos dois referenciais. A fórmula que relaciona os tempos é:
Onde:
-
é o tempo no referencial da plataforma. -
é o tempo no referencial do trem. -
é a velocidade do trem ( ). -
é a posição do evento no referencial do trem. -
é o fator de Lorentz, dado por .
Como os eventos são simultâneos no referencial do trem (
), vamos calcular o tempo nos dois eventos na plataforma.
Passo 4
Primeiro, calculamos o fator de Lorentz (
):
Passo 5
Agora, consideramos as posições dos homens A e B no referencial do trem. Vamos supor que o homem A está na posição
e o homem B está na posição
metros.
Aplicando a transformação de Lorentz para cada evento:
Para o homem A:
Para o homem B:
Como
no referencial do trem, podemos comparar
e
:
Então:
Isso mostra que
, ou seja, o evento B ocorreu antes do evento A no referencial da plataforma.
Passo 6
Agora, vamos calcular a diferença de tempo entre os dois eventos segundo o observador na plataforma:
Substituindo
e
:
Resposta
Segundo o observador na plataforma, o homem B atirou primeiro, e ele fez isso aproximadamente
segundos antes do homem A.
Exercícios relacionados
Seja
e seja
a inversa de
. Mostre que
é derivável e que
.
Determine se a série é convergente ou divergente.
Um píon (
) é uma partícula subatômica que pode decair em um pósitron
e em um elétron-neutrino
Qual a mínima velocidade do píon se o pósitron e o neutrino se movem formando um ângulo reto entre si?
Dois fótons com energia
colidem formando um ângulo
e produzem uma partícula de massa
. Calcule
.