Um trem passa por uma plataforma com velocidade v=c / 5. Um homem parado no ponto A do trem e um homem parado no ponto B atiram um no outro. A distância entre A e B, medida por alguém no trem, é de 15 m . O condutor do trem diz que os dois homens atiraram simultaneamente. O que diz um observador na plataforma? Qual homem atirou primeiro e quanto mais cedo ele atirou, de acordo com o observador na plataforma?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um trem que está se movendo com uma velocidade de , onde é a velocidade da luz. Dentro desse trem, há dois homens, um no ponto A e outro no ponto B, que estão separados por 15 metros. Esses dois homens atiram um no outro ao mesmo tempo, de acordo com o condutor do trem. A pergunta é: o que um observador parado na plataforma vê? Qual dos dois atirou primeiro e com quanto tempo de diferença, segundo esse observador na plataforma?
Vamos resolver isso usando os conceitos da Teoria da Relatividade Especial, especificamente sobre a simultaneidade de eventos em diferentes referenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dois referenciais envolvidos:
  1. Referencial do Trem: Onde o trem está em repouso, e os homens A e B estão separados por 15 metros. Segundo esse referencial, os tiros ocorreram exatamente ao mesmo tempo.
  2. Referencial da Plataforma: Onde a plataforma está em repouso, e o trem está se movendo a uma velocidade de .
Para entender o que um observador na plataforma vê, precisamos analisar como a simultaneidade de eventos muda entre esses referenciais devido à velocidade do trem.

Passo 3

Vamos usar a Transformação de Lorentz para relacionar os tempos dos eventos nos dois referenciais. A fórmula que relaciona os tempos é:
t' = gamma ( t - v xc^2 )
Onde:
  • é o tempo no referencial da plataforma.
  • é o tempo no referencial do trem.
  • é a velocidade do trem ( ).
  • é a posição do evento no referencial do trem.
  • é o fator de Lorentz, dado por .
Como os eventos são simultâneos no referencial do trem ( ), vamos calcular o tempo nos dois eventos na plataforma.

Passo 4

Primeiro, calculamos o fator de Lorentz ( gamma = 1raiz1 - v^2c^2 = 1raiz1 - (c5)^2 / c^2 = 1raiz1 - 125 = 1raiz2425 = 5raiz24 approx 1.0206 ):

Passo 5

Agora, consideramos as posições dos homens A e B no referencial do trem. Vamos supor que o homem A está na posição t'A = gamma ( t - v xAc^2 ) = gamma ( t - 0 ) = gamma t e o homem B está na posição t'B = gamma ( t - v xBc^2 ) = gamma ( t - c5 cdot 15c^2 ) = gamma ( t - 155c ) = gamma ( t - 3c ) metros.
Aplicando a transformação de Lorentz para cada evento:
Para o homem A:
t'A = gamma t
Para o homem B:
t'B = gamma ( t - 3c )
Como t'B = t'A - gamma cdot 3c no referencial do trem, podemos comparar e :
Então:
Isso mostra que , ou seja, o evento B ocorreu antes do evento A no referencial da plataforma.

Passo 6

Agora, vamos calcular a diferença de tempo entre os dois eventos segundo o observador na plataforma:
De
Substituindo De e :

Resposta

Segundo o observador na plataforma, o homem B atirou primeiro, e ele fez isso aproximadamente segundos antes do homem A.

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