Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se a série converge ou diverge. Isso envolve o conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Vamos usar o Teste da Razão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série é convergente ou divergente analisando o limite da razão entre termos consecutivos da série. A fórmula é:
Se , a série converge. Se , a série diverge. E se , o teste não conclui nada.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, o termo geral é an+1an = (n+1)^35^n+1n^35^n = (n+1)^35^n+1 times 5^nn^3 = (n+1)^35 n^3 . Vamos calcular a razão :
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
(n+1)^35 n^3 = 15 (n+1n)^3 = 15 (1 + 1n)^3
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty 15 (1 + 1n)^3 = 15 times 1^3 = 15 vai para o infinito:
Passo 6
Como , pelo Teste da Razão, a série é convergente.