Determine se a série é convergente ou divergente. sumn=1^infty n^35^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se a série converge ou diverge. Isso envolve o conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Vamos usar o Teste da Razão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série é convergente ou divergente analisando o limite da razão entre termos consecutivos da série. A fórmula é:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge. Se , a série diverge. E se , o teste não conclui nada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, o termo geral é an+1an = (n+1)^35^n+1n^35^n = (n+1)^35^n+1 times 5^nn^3 = (n+1)^35 n^3 . Vamos calcular a razão :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
(n+1)^35 n^3 = 15 (n+1n)^3 = 15 (1 + 1n)^3

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty 15 (1 + 1n)^3 = 15 times 1^3 = 15 vai para o infinito:

Passo 6

Como , pelo Teste da Razão, a série é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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