Simplifique as expressões: mm+n+nm-n(nm+n-mm-n)+1+mn1+(m-n)^24 m n cdot(1+nm).

Passo 1

Beleza, vamos simplificar essa expressão complicada. O problema envolve manipulação de frações e operações com expressões algébricas. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de frações, simplificação de expressões e operações básicas com variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira parte da expressão:
mm+n + nm-nnm+n - mm-n
Para simplificar isso, precisamos combinar as frações no numerador e no denominador. Vamos encontrar um denominador comum para as frações dentro de cada parte.

Passo 3

No numerador:
mm+n + nm-n = m(m - n) + n(m + n)(m + n)(m - n)
Multiplicamos cada termo pelo denominador do outro para ter um denominador comum.

Passo 4

Simplificando o numerador:
m(m - n) + n(m + n) = m^2 - m n + m n + n^2 = m^2 + n^2
Os termos e se cancelam.

Passo 5

Assim, a primeira parte fica:
m^2 + n^2(m + n)(m - n)
Agora, vamos fazer o mesmo para o denominador da primeira fração:
nm+n - mm-n = n(m - n) - m(m + n)(m + n)(m - n)

Passo 6

Simplificando o denominador:
n(m - n) - m(m + n) = m n - n^2 - m^2 - m n = -m^2 - n^2
Os termos e se cancelam.

Passo 7

Então, a primeira parte toda fica:
m^2 + n^2(m + n)(m - n)-m^2 - n^2(m + n)(m - n) = m^2 + n^2-m^2 - n^2 = -1
Porque os termos se cancelam e sobra -1.

Passo 8

Agora, vamos simplificar a segunda parte da expressão:
1 + mn1 + (m - n)^24 m n cdot (1 + nm)
Primeiro, simplificamos 1 + mn = n + mn, 1 + nm = m + nm e :

Passo 9

Agora, a expressão fica:
m + nn1 + (m - n)^24 m n cdot m + nm
Vamos simplificar o denominador da fração principal:
1 + (m - n)^24 m n = 4 m n + (m - n)^24 m n

Passo 10

Expandindo (m - n)^2 = m^2 - 2 m n + n^2 :
4 m n + m^2 - 2 m n + n^24 m n = m^2 + 2 m n + n^24 m n = (m + n)^24 m n
Então:

Passo 11

Substituindo de volta na expressão:
m + nn(m + n)^24 m n cdot m + nm = (m + n) cdot 4 m nn (m + n)^2 cdot m + nm
Simplificando:
4 m nn (m + n) cdot m + nm = 4 mm = 4

Resposta

A expressão simplificada é .

Exercícios relacionados