Determine se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente determinar se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas da matemática, mais especificamente o Teste da Série Alternada. Vamos precisar verificar se os termos da série diminuem e se o limite deles tende a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série sem considerar o sinal alternado. Isso é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito para ver se ele se aproxima de zero. Isso é importante porque, para uma série alternada convergir, os termos
devem tender a zero.
Passo 4
Para calcular esse limite, dividimos o numerador e o denominador por
:
Passo 5
O limite de
é
, que não é zero. De acordo com o Teste da Série Alternada, para que a série converja, o limite dos termos
precisa ser zero.
Passo 6
Como o limite de
não é zero, a série não atende a condição necessária para a convergência das séries alternadas.
Resposta
A série
é divergente.
Exercícios relacionados
Suponha que
seja uma série absolutamente convergente e que
. Defina
. Prove que
.
Use o Critério de Cauchy para Séries para mostrar que a série
é convergente.
Suponha que
seja uma série convergente. Assuma que
, para todo
. Mostre que: A série
é absolutamente convergente, para todo
;
Suponha que
e
sejam séries convergentes. Prove que a série
é absolutamente convergente.