Determine se a série é convergente ou divergente: sumn=1^+infty(-1)^n+1 3 n-12 n+5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas da matemática, mais especificamente o Teste da Série Alternada. Vamos precisar verificar se os termos da série diminuem e se o limite deles tende a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série sem considerar o sinal alternado. Isso é:
an = 3n - 12n + 5

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de limn to +infty 3n - 12n + 5 quando tende ao infinito para ver se ele se aproxima de zero. Isso é importante porque, para uma série alternada convergir, os termos devem tender a zero.

Passo 4

Para calcular esse limite, dividimos o numerador e o denominador por limn to +infty 3 - 1n2 + 5n = 3 - 02 + 0 = 32 :

Passo 5

O limite de é , que não é zero. De acordo com o Teste da Série Alternada, para que a série converja, o limite dos termos precisa ser zero.

Passo 6

Como o limite de não é zero, a série não atende a condição necessária para a convergência das séries alternadas.

Resposta

A série é divergente.

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