Suponha que seja uma série convergente. Assuma que , para todo . Mostre que: A série é absolutamente convergente, para todo ;

Passo 1

Bom, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita que sabemos que converge e que todos os termos são maiores ou iguais a zero. A gente precisa mostrar que a série é absolutamente convergente para todo no intervalo .
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de convergência de séries e testes de convergência, especialmente o Teste da Comparação e o Teste da Raiz ou Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série dos seus valores absolutos também converge. No nosso caso, queremos que convirja.
Como e , então . Portanto, . Assim, precisamos mostrar que converge para todo .

Passo 3

Sabemos que é convergente. Vamos usar o Teste da Comparação para comparar nossa série com uma série que já sabemos que converge.
Observe que para , temos , então . Isso implica que:

Passo 4

Como converge e para todo , pelo Teste da Comparação, a série também converge.

Passo 5

Portanto, concluímos que é absolutamente convergente para todo , já que a série dos valores absolutos converge.

Resposta

A série é absolutamente convergente para todo .

Exercícios relacionados

Determine se a série é convergente ou divergente:
Suponha que seja uma série absolutamente convergente e que . Defina . Prove que .
Suponha que e sejam séries convergentes. Prove que a série é absolutamente convergente.
Temos que é um espaço vetorial sobre com dimensão 2. Seja a aplicação derivada, i.e., é a derivada de h. Escolha uma base ordenada para e calcule nesta base. Calcule o polinômio característico de . D é diagonalizável?