Suponha que sumn=1^+infty an seja uma série convergente. Assuma que an >= 0, para todo n in N. Mostre que: A série sumn=1^+infty an x^n é absolutamente convergente, para todo x in[-1,1];

Passo 1

Bom, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita que sabemos que converge e que todos os termos são maiores ou iguais a zero. A gente precisa mostrar que a série é absolutamente convergente para todo no intervalo .
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de convergência de séries e testes de convergência, especialmente o Teste da Comparação e o Teste da Raiz ou Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série dos seus valores absolutos também converge. No nosso caso, queremos que convirja.
Como e , então . Portanto, . Assim, precisamos mostrar que converge para todo .

Passo 3

Sabemos que an |x|^n <= an times 1 = an é convergente. Vamos usar o Teste da Comparação para comparar nossa série com uma série que já sabemos que converge.
Observe que para , temos , então . Isso implica que:

Passo 4

Como converge e para todo , pelo Teste da Comparação, a série também converge.

Passo 5

Portanto, concluímos que é absolutamente convergente para todo , já que a série dos valores absolutos converge.

Resposta

A série é absolutamente convergente para todo .

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