Suponha que
seja uma série convergente. Assuma que
, para todo
. Mostre que: A série
é absolutamente convergente, para todo
;
Passo 1
Bom, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita
que sabemos que converge e que todos os termos
são maiores ou iguais a zero. A gente precisa mostrar que a série
é absolutamente convergente para todo
no intervalo
.
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de convergência de séries e testes de convergência, especialmente o Teste da Comparação e o Teste da Raiz ou Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Uma série
é absolutamente convergente se a série dos seus valores absolutos
também converge. No nosso caso, queremos que
convirja.
Como
e
, então
. Portanto,
. Assim, precisamos mostrar que
converge para todo
.
Passo 3
Sabemos que
é convergente. Vamos usar o Teste da Comparação para comparar nossa série com uma série que já sabemos que converge.
Observe que para
, temos
, então
. Isso implica que:
Passo 4
Como
converge e
para todo
, pelo Teste da Comparação, a série
também converge.
Passo 5
Portanto, concluímos que
é absolutamente convergente para todo
, já que a série dos valores absolutos converge.
Resposta
A série
é absolutamente convergente para todo
.
Exercícios relacionados
Determine se a série é convergente ou divergente:
Suponha que
seja uma série absolutamente convergente e que
. Defina
. Prove que
.
Suponha que
e
sejam séries convergentes. Prove que a série
é absolutamente convergente.
Temos que
é um espaço vetorial sobre
com dimensão 2. Seja
a aplicação derivada, i.e.,
é a derivada de h. Escolha uma base ordenada para
e calcule
nesta base. Calcule o polinômio característico de
. D é diagonalizável?