Suponha que e sejam séries convergentes. Prove que a série é absolutamente convergente.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos diz que temos duas séries, e , que ambas convergem. O que precisamos provar é que a série formada pelos produtos dos termos, ou seja, , também converge absolutamente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries e desigualdades matemáticas que nos ajudam a entender como os termos se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos, , também converge. No nosso caso, queremos mostrar que converge.

Passo 3

Para conectar as séries dadas com a que queremos provar, vamos usar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Essa desigualdade nos diz que, para duas séries de números reais, a soma dos produtos pode ser limitada pelo produto das somas dos quadrados. Em termos matemáticos, temos:

Passo 4

Vamos aplicar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz à nossa série. Sabemos que as séries e convergem, ou seja, elas somam a um número finito. Ao aplicar a desigualdade, concluímos que a soma dos produtos também será limitada por um produto de números finitos, garantindo que converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original converge absolutamente, que é o que queríamos provar.

Resposta

Portanto, mostramos que a série é absolutamente convergente utilizando a Desigualdade de Cauchy-Schwarz.

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