Suponha que
e
sejam séries convergentes. Prove que a série
é absolutamente convergente.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão nos diz que temos duas séries,
e
, que ambas convergem. O que precisamos provar é que a série formada pelos produtos dos termos, ou seja,
, também converge absolutamente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries e desigualdades matemáticas que nos ajudam a entender como os termos se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Uma série
é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos,
, também converge. No nosso caso, queremos mostrar que
converge.
Passo 3
Para conectar as séries dadas com a que queremos provar, vamos usar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Essa desigualdade nos diz que, para duas séries de números reais, a soma dos produtos pode ser limitada pelo produto das somas dos quadrados. Em termos matemáticos, temos:
Passo 4
Vamos aplicar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz à nossa série. Sabemos que as séries
e
convergem, ou seja, elas somam a um número finito. Ao aplicar a desigualdade, concluímos que a soma dos produtos
também será limitada por um produto de números finitos, garantindo que
converge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos
converge, isso significa que a série original
converge absolutamente, que é o que queríamos provar.
Resposta
Portanto, mostramos que a série
é absolutamente convergente utilizando a Desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Exercícios relacionados
Suponha que
seja uma série convergente. Assuma que
, para todo
. Mostre que: A série
é absolutamente convergente, para todo
;
Determine se a série é convergente ou divergente:
Temos que
é um espaço vetorial sobre
com dimensão 2. Seja
a aplicação derivada, i.e.,
é a derivada de h. Escolha uma base ordenada para
e calcule
nesta base. Calcule o polinômio característico de
. D é diagonalizável?
Dê exemplo de uma série
convergente e de uma sequência limitada
tais que a série
seja divergente.