Suponha que sumn=1^+infty an^2 e sumn=1^+infty bn^2 sejam séries convergentes. Prove que a série sumn=1^+infty an bn é absolutamente convergente.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos diz que temos duas séries, sumn=1^+infty an^2 e sumn=1^+infty bn^2, que ambas convergem. O que precisamos provar é que a série formada pelos produtos dos termos, ou seja, sumn=1^+infty an bn, também converge absolutamente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries e desigualdades matemáticas que nos ajudam a entender como os termos se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Uma série sumn=1^+infty cn é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos, sumn=1^+infty |cn|, também converge. No nosso caso, queremos mostrar que sumn=1^+infty |an bn| converge.

Passo 3

Para conectar as séries dadas com a que queremos provar, vamos usar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Essa desigualdade nos diz que, para duas séries de números reais, a soma dos produtos pode ser limitada pelo produto das somas dos quadrados. Em termos matemáticos, temos:
( sumn=1^+infty |an bn| ) <= ( sumn=1^+infty an^2 )^1/2 cdot ( sumn=1^+infty bn^2 )^1/2

Passo 4

Vamos aplicar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz à nossa série. Sabemos que as séries sum an^2 e sum bn^2 convergem, ou seja, elas somam a um número finito. Ao aplicar a desigualdade, concluímos que a soma dos produtos |an bn| também será limitada por um produto de números finitos, garantindo que sum |an bn| converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos sumn=1^+infty |an bn| converge, isso significa que a série original sumn=1^+infty an bn converge absolutamente, que é o que queríamos provar.

Resposta

Portanto, mostramos que a série sumn=1^+infty an bn é absolutamente convergente utilizando a Desigualdade de Cauchy-Schwarz.

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