Se
descreve a posição (em metros) de um objeto no tempo
(em segundos), calcule sua velocidade no instante
dado, usando a fórmula
:
e
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
que descreve a posição de um objeto ao longo do tempo, especificamente,
. Queremos calcular a velocidade no instante
usando a fórmula de limite para a velocidade, que é
. Para resolver, precisamos entender o que significa essa expressão e como aplicar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Sabemos que
, então precisamos encontrar
:
Agora que temos
, podemos substituir na fórmula da velocidade. Assim, a fórmula de velocidade se torna:
Substituindo
, a expressão fica:
Passo 3
Agora, precisamos resolver esse limite. O que acontece é que quando
se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0. Isso é uma indeterminação do tipo
, e para resolver isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador. Então, vamos primeiro derivar o numerador
e o denominador
.
A derivada de
é
, e a derivada de
é 1. Portanto, aplicando a regra de L’Hôpital temos:
Agora, substituindo
:
Resposta
Portanto, a velocidade do objeto no instante
é
metros por segundo.
Exercícios relacionados
Resolva as equações separáveis:
, condição inicial
.
Determine se a série é convergente ou divergente.
Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.
Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.