Se descreve a posição (em metros) de um objeto no tempo (em segundos), calcule sua velocidade no instante dado, usando a fórmula : e

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função que descreve a posição de um objeto ao longo do tempo, especificamente, . Queremos calcular a velocidade no instante usando a fórmula de limite para a velocidade, que é . Para resolver, precisamos entender o que significa essa expressão e como aplicar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Sabemos que , então precisamos encontrar :
Agora que temos , podemos substituir na fórmula da velocidade. Assim, a fórmula de velocidade se torna:
Substituindo , a expressão fica:

Passo 3

Agora, precisamos resolver esse limite. O que acontece é que quando se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0. Isso é uma indeterminação do tipo , e para resolver isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador. Então, vamos primeiro derivar o numerador e o denominador .
A derivada de é , e a derivada de é 1. Portanto, aplicando a regra de L’Hôpital temos:
Agora, substituindo :

Resposta

Portanto, a velocidade do objeto no instante é metros por segundo.

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Resolva as equações separáveis:
, condição inicial .
Determine se a série é convergente ou divergente.
Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.
Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.