Se s(t) descreve a posição (em metros) de um objeto no tempo t (em segundos), calcule sua velocidade no instante t0 dado, usando a fórmula v(t0)=lim t t0 s(t)-s(t0)t-t0 : s(t)=cos t e t0=0

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função s(t) que descreve a posição de um objeto ao longo do tempo, especificamente, s(t) = cos t. Queremos calcular a velocidade no instante t0 = 0 usando a fórmula de limite para a velocidade, que é v(t0) = limt t0 s(t) - s(t0)t - t0. Para resolver, precisamos entender o que significa essa expressão e como aplicar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular s(t0). Sabemos que t0 = 0, então precisamos encontrar s(0):
s(0) = cos(0) = 1
Agora que temos s(0) = 1, podemos substituir na fórmula da velocidade. Assim, a fórmula de velocidade se torna:
v(0) = limt 0 s(t) - 1t - 0 = limt 0 s(t) - 1t
Substituindo s(t) = cos t, a expressão fica:
v(0) = limt 0 cos t - 1t

Passo 3

Agora, precisamos resolver esse limite. O que acontece é que quando t se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0. Isso é uma indeterminação do tipo 0/0, e para resolver isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador. Então, vamos primeiro derivar o numerador cos t - 1 e o denominador t.
A derivada de cos t é -sin t, e a derivada de t é 1. Portanto, aplicando a regra de L’Hôpital temos:
v(0) = limt 0 -sin t1
Agora, substituindo t = 0:
v(0) = -sin(0) = -0 = 0

Resposta

Portanto, a velocidade do objeto no instante t0 = 0 é 0 metros por segundo.

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