Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 1n(n+2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e entender como quebrar frações, além de saber trabalhar com séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração 1n(n+2) = An + Bn+2 . Para facilitar a soma, podemos decompô-la em frações parciais. Isso significa escrever como a soma de duas frações menores. Então, vamos procurar números A e B tais que:

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por 1 = A(n+2) + Bn para eliminar os denominadores, temos:
1 = An + 2A + Bn
Agora, distribuímos:
1 = (A + B)n + 2A
Juntando os termos semelhantes:

Passo 4

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo A + B = 0 , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:
2A = 1
A = 12
Resolvendo o segundo, encontramos:
12 + B = 0 implies B = -12
Substituindo na primeira equação:
1n(n+2) = 1/2n - 1/2n+2
Então, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 5

Agora, vamos escrever a série original usando essa decomposição:
sumn=1^infty 1n(n+2) = sumn=1^infty ( 1/2n - 1/2n+2 )
Podemos fatorar o = 12 sumn=1^infty ( 1n - 1n+2 ) :

Passo 6

Observando a soma, percebemos que ela é uma série telescópica, ou seja, muitos termos vão se cancelar. Vamos ver isso somando os primeiros termos:
12 [ ( 11 - 13 ) + ( 12 - 14 ) + ( 13 - 15 ) + cdots ]
Notamos que = 12 ( 11 + 12 ) cancela com , cancela com , e assim por diante. No final, só restam os dois primeiros termos não cancelados:

Passo 7

Calculando isso:
= 12 ( 1 + 12 ) = 12 times 32 = 34

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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