Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e entender como quebrar frações, além de saber trabalhar com séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
. Para facilitar a soma, podemos decompô-la em frações parciais. Isso significa escrever
como a soma de duas frações menores. Então, vamos procurar números A e B tais que:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, distribuímos:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 4
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá um sistema de equações:
Resolvendo o segundo, encontramos:
Substituindo na primeira equação:
Então, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 5
Agora, vamos escrever a série original usando essa decomposição:
Podemos fatorar o
:
Passo 6
Observando a soma, percebemos que ela é uma série telescópica, ou seja, muitos termos vão se cancelar. Vamos ver isso somando os primeiros termos:
Notamos que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. No final, só restam os dois primeiros termos não cancelados:
Passo 7
Calculando isso:
Resposta
A série
é convergente e sua soma é
.
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