Encontre o limite ou demonstre que não existe.
lim t infty t+3raiz2 t^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o limite da função t+3raiz2 t^2-1 quando t tende ao infinito. Esse problema está relacionado com limites e o comportamento das funções quando as variáveis crescem muito. Precisamos usar algumas propriedades de limites e simplificar a expressão para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são os termos que mais influenciam a função quando t fica bem grande. No numerador, temos t + 3. Aqui, o t é o termo dominante porque, quando t cresce muito, o 3 vira quase nada comparado ao t. No denominador, temos raiz2t^2 - 1. O termo 2t^2 é dominante dentro da raiz, já que -1 também se torna insignificante quando t é muito grande.

Passo 3

Agora, para simplificar, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por t, que é o termo dominante no numerador. Isso ajuda a tornar a expressão mais fácil de lidar:
t + 3raiz2 t^2 - 1 = t(1 + 3t)traiz2 - 1t^2 = 1 + 3traiz2 - 1t^2

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando t tende ao infinito. Observe que 3t e 1t^2 vão se aproximar de zero, porque qualquer número dividido por algo que cresce sem limite vai dar zero:
limt to infty 1 + 3traiz2 - 1t^2 = 1 + 0raiz2 - 0 = 1raiz2

Resposta

O limite é 1raiz2.

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