Encontre os valores de
para os quais a série converge. Calcule a soma da série para aqueles valores de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os valores de
que fazem a série
convergir e também calcular a soma dessa série para esses valores de
. Vamos precisar saber sobre séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. A série dada é
. Podemos reescrever isso como
. Isso se parece muito com uma série geométrica, que tem a forma geral
, onde
é o primeiro termo e
é a razão da série.
Passo 3
Agora, vamos lembrar as condições para uma série geométrica convergir. Uma série geométrica
converge se e somente se o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja,
. Se essa condição for satisfeita, a soma da série é dada por
.
Passo 4
Aplicando isso à nossa série
, aqui a razão
é
. Para que a série converja, precisamos que:
Resolvendo essa desigualdade:
Então, a série converge para valores de
que estão entre
e
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a soma da série para esses valores de
. Como a série começa no
, o primeiro termo
é
. Usando a fórmula da soma da série geométrica:
Então, a soma da série é
.
Resposta
A série converge para todos os valores de
tais que
. Para esses valores, a soma da série é dada por: