Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para aqueles valores de x.
sumn=1^infty 4^n cdot x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os valores de que fazem a série convergir e também calcular a soma dessa série para esses valores de . Vamos precisar saber sobre séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. A série dada é . Podemos reescrever isso como . Isso se parece muito com uma série geométrica, que tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão da série.

Passo 3

Agora, vamos lembrar as condições para uma série geométrica convergir. Uma série geométrica converge se e somente se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . Se essa condição for satisfeita, a soma da série é dada por .

Passo 4

Aplicando isso à nossa série |4x| < 1 , aqui a razão |x| < 14 é . Para que a série converja, precisamos que:
Resolvendo essa desigualdade:
Então, a série converge para valores de que estão entre e .

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma da série para esses valores de S = a1 - r = 4x1 - 4x . Como a série começa no , o primeiro termo é . Usando a fórmula da soma da série geométrica:
Então, a soma da série é .

Resposta

A série converge para todos os valores de S = 4x1 - 4x tais que . Para esses valores, a soma da série é dada por:

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